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Neben dem Median (mittlerer Wert) und dem Modus (häufigster Wert) ist das arithmetische Mittel, oft einfach Durchschnitt genannt, ein weiteres Maß für die Mitte eines Datensatzes.
Das arithmetische Mittel ist der Wert, den jede Person bekäme, wenn wir . Stell dir vor, ihr legt alle Süßigkeiten aus einer Gruppe zusammen und teilt sie anschließend gerecht auf. Die Anzahl pro Person ist dann das arithmetische Mittel.
Gehe in zwei Schritten vor:
Mittelwertformel:
dabei gilt:
Ein Beispiel macht die Idee greifbar.
Ausgangssituation:
Zehn Mitglieder der Schülervertretung von Schule A sammeln gut erhaltene Kleidung für eine Hilfsaktion. So viele Kleidungsstücke bringt jedes Mitglied mit:
Arithmetisches Mittel, Median und Modus der Ausgangsdaten:
Sortiere die Daten (für Median und Modus):
(insgesamt , also )
Berechne das arithmetische Mittel:
Bestimme den Median:
Die Anzahl der Datenwerte ist gerade (). Deshalb liegen die beiden mittleren Werte an den Positionen und .
Bestimme den Modus:
Am häufigsten kommen () und () vor.
Die Ausgangsdaten besitzen also die beiden Modi und . Eine solche Verteilung heißt bimodal.
Neue Situation:
Am nächsten Tag beteiligen sich . Sie bringen beziehungsweise Kleidungsstücke mit.
Der neue Datensatz lautet:
Arithmetisches Mittel, Median und Modus des neuen Datensatzes:
Sortiere die Daten:
(insgesamt , also )
Berechne das neue arithmetische Mittel:
Bestimme den neuen Median:
Die Anzahl der Datenwerte ist wieder gerade (). Die beiden mittleren Werte liegen an den Positionen und .
Bestimme den neuen Modus:
Am häufigsten kommen weiterhin () und () vor.
Die Modi bleiben daher und .
Vergleichen wir die drei Lagemaße vor und nach der Ergänzung:
Die zusätzlichen Werte und liegen deutlich über den Ausgangsdaten. Deshalb haben sie den größten Einfluss auf den Mittelwert und ziehen ihn nach oben.
Der Median verschiebt sich ebenfalls, aber weniger stark. Der Modus bleibt unverändert.
Was geschieht, wenn einer der neuen Werte besonders groß ist? Nehmen wir an, das . Mitglied bringt nun statt mit.
Der Datensatz lautet dann: ()
Berechne das arithmetische Mittel:
Das arithmetische Mittel beträgt nun . Damit liegt es weit über dem Ausgangswert und dem vorherigen Wert .
Bestimme den Median:
Sortierter Datensatz:
Der Median bleibt bei und ändert sich gegenüber dem vorherigen Datensatz nicht.
Bestimme den Modus:
Auch die Modi bleiben und .
Ein Extremwert kann nach einer ausdrücklich genannten statistischen Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als Ausreißer gelten. In diesem Beispiel beeinflusst das arithmetische Mittel stark, während Median und Modi unverändert bleiben. Diese Empfindlichkeit ist die größte Schwäche des arithmetischen Mittels; Median und Modus reagieren auf einen einzelnen ungewöhnlich großen oder kleinen Wert stabiler.
Das arithmetische Mittel ist leicht zu berechnen. Ein ungewöhnlich großer oder kleiner Wert kann jedoch dazu führen, dass es die übrigen Daten nicht mehr gut repräsentiert.
Das arithmetische Mittel der Ausgangsdaten beträgt .
An Position steht , an Position steht .
Der Median der Ausgangsdaten beträgt somit .
Das neue arithmetische Mittel beträgt .
An Position steht , an Position steht .
Der neue Median beträgt somit .
