Perzentile bei gruppierten Daten

Geordnete Daten in hundert Rangbereiche aufteilen

Du kennst bereits Quartile: Sie teilen geordnete Daten nach Rang in vier Teile. $Perzentile$ führen denselben Gedanken weiter.

Perzentile markieren $Ränge in Hundertsteln$ geordneter Daten. Bei endlichen Datensätzen oder wiederholten Werten entstehen nicht unbedingt 100 getrennte Gruppen mit gleicher Anzahl. Auch die Wertebereiche zwischen den Rängen müssen nicht gleich breit sein.

Die $99$ inneren Trennpunkte werden meist als $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , ..., bis $P_{99}$ bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben.

$P_{10}$ (das $10$ . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $10\%$ der Beobachtungen liegen. Die anderen $90\%$ liegen darüber.
$P_{50}$ (das $50$ . Perzentil) entspricht dem $Median$ oder $Q_2$ . Es markiert die mittlere Rangposition. Bei Bindungen muss nicht genau die Hälfte der beobachteten Werte streng auf jeder Seite liegen.
$P_{85}$ (das $85$ . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $85\%$ der Beobachtungen liegen. Rund $15\%$ liegen darüber.

Perzentile beschreiben $die relative Position eines Werts innerhalb einer Verteilung$ . So lässt sich etwa ein Testergebnis mit dem Rest einer Lerngruppe oder ein Wachstumswert mit einer passenden Referenzgruppe vergleichen.

Perzentilwerte bei gruppierten Daten bestimmen

Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine $Interpolation$ , um den Perzentilwert $P_i$ innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen.

Das Verfahren besteht aus zwei Schritten.

Position der Perzentilklasse bestimmen

Bestimme zuerst die $Position$ des $i$ . Perzentils:

\text{Position von } P_i = \frac{i}{100} \times n

$i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 50, 85$
$n$ = Gesamthäufigkeit

Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten $F_k$ , in welchem Klassenintervall diese Position liegt.

Perzentilwert durch Interpolation berechnen

Sobald die Perzentilklasse feststeht, interpolieren wir innerhalb dieser Klasse:

P_i = T_b + \left( \frac{\frac{i}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_i} \right) p

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

$P_i$ = geschätzter Wert des gesuchten Perzentils
$T_b$ = untere Grenze der Perzentilklasse
$i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 85$
$n$ = Gesamthäufigkeit
$F_{\text{kum}}$ = kumulierte Häufigkeit $vor$ der Perzentilklasse
$f_i$ = Häufigkeit der Perzentilklasse
$p$ = Klassenbreite

Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber $\frac{i}{100}n$ anstelle von $\frac{i}{4}n$ .

Die Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie schätzt ein Perzentil anhand des gruppierten Modells, rekonstruiert aber nicht die ursprünglichen Einzelwerte.

Perzentile in einem Mathematiktest

Die Tabelle fasst die Ergebnisse von $40 \text{ Lernenden}$ in einem Mathematiktest zusammen:

Testergebnis	Häufigkeit ( $f$ )	Kumulierte Häufigkeit ( $F_k$ )	Untere Grenze ( $T_b$ )	Klassenbreite ( $p$ )
$61\text{-}70$	$4$	$4$	$60{,}5$	$10$
$71\text{-}80$	$10$	$14$	$70{,}5$	$10$
$81\text{-}90$	$16$	$30$	$80{,}5$	$10$
$91\text{-}100$	$10$	$40$	$90{,}5$	$10$
$Gesamt$	$40$

Gesucht ist das $85$ . Perzentil $P_{85}$ .

$P_{85}$ :

$P_{85}$ liegt an der Datenposition $\frac{85}{100} \times 40 = \frac{3400}{100} = 34$ .

$P_{85}$ :

Die kumulierte Häufigkeit erreicht $F_k = 30$ bis zur Klasse $81\text{-}90$ und $F_k = 40$ bis zur Klasse $91\text{-}100$ . Die Positionen $31$ bis $40$ liegen daher in der letzten Klasse. Somit gehört $P_{85}$ zur Klasse $91\text{-}100$ .

$Einzusetzende Werte$

Größe	Wert
$T_b$	$90{,}5$
$n$	$40$
$F_{\text{kum}}$	$30$
$f_i$	$10$
$p$	$10$
$P_{85}$ berechnen:

P_{85} = T_b + \left( \frac{\frac{85}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{85}} \right) p

Das geschätzte $85$ . Perzentil beträgt $94{,}5$ . Im interpolierten Modell liegen etwa $85\%$ der Werte auf oder unter $94{,}5$ und etwa $15\%$ darüber.

Übung

Berechne zunächst selbst das $20$ . Perzentil $P_{20}$ aus derselben Tabelle. Vergleiche deinen Rechenweg erst danach mit der Lösung. Notiere die gewählte Klasse und die beiden Grenzen, zwischen denen du $interpolierst$ , damit du die Position innerhalb der Klasse aus den kumulierten Häufigkeiten bestimmen kannst.

Durchgerechnete Lösung

$P_{20}$ :

$P_{20}$ liegt an der Datenposition $\frac{20}{100} \times 40 = \frac{800}{100} = 8$ .

$P_{20}$ :

Betrachte $F_k$ . Die Datenposition $8$ liegt in der Klasse $71\text{-}80$ , denn in der vorherigen Klasse beträgt $F_k$ erst $4$ und in dieser Klasse $F_k$ bereits $14$ .

$Einzusetzende Werte$

Größe	Wert
$T_b$	$70{,}5$
$n$	$40$
$F_{\text{kum}}$	$4$
$f_i$	$10$
$p$	$10$
$P_{20}$ berechnen:

P_{20} = T_b + \left( \frac{\frac{20}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{20}} \right) p

Das geschätzte $20$ . Perzentil beträgt $74{,}5$ . Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse $71\text{-}80$ .

Geordnete Daten in hundert Rangbereiche aufteilen

Du kennst bereits Quartile: Sie teilen geordnete Daten nach Rang in vier Teile. $Perzentile$ führen denselben Gedanken weiter.

Die $99$ inneren Trennpunkte werden meist als $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , ..., bis $P_{99}$ bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben.

$P_{10}$ (das $10$ . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $10\%$ der Beobachtungen liegen. Die anderen $90\%$ liegen darüber.
$P_{50}$ (das $50$ . Perzentil) entspricht dem $Median$ oder $Q_2$ . Es markiert die mittlere Rangposition. Bei Bindungen muss nicht genau die Hälfte der beobachteten Werte streng auf jeder Seite liegen.
$P_{85}$ (das $85$ . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $85\%$ der Beobachtungen liegen. Rund $15\%$ liegen darüber.

Perzentilwerte bei gruppierten Daten bestimmen

Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine $Interpolation$ , um den Perzentilwert $P_i$ innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen.

Das Verfahren besteht aus zwei Schritten.

Position der Perzentilklasse bestimmen

Bestimme zuerst die $Position$ des $i$ . Perzentils:

\text{Position von } P_i = \frac{i}{100} \times n

$i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 50, 85$
$n$ = Gesamthäufigkeit

Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten $F_k$ , in welchem Klassenintervall diese Position liegt.

Perzentilwert durch Interpolation berechnen

Sobald die Perzentilklasse feststeht, interpolieren wir innerhalb dieser Klasse:

P_i = T_b + \left( \frac{\frac{i}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_i} \right) p

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

$P_i$ = geschätzter Wert des gesuchten Perzentils
$T_b$ = untere Grenze der Perzentilklasse
$i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 85$
$n$ = Gesamthäufigkeit
$F_{\text{kum}}$ = kumulierte Häufigkeit $vor$ der Perzentilklasse
$f_i$ = Häufigkeit der Perzentilklasse
$p$ = Klassenbreite

Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber $\frac{i}{100}n$ anstelle von $\frac{i}{4}n$ .

Perzentile in einem Mathematiktest

Die Tabelle fasst die Ergebnisse von $40 \text{ Lernenden}$ in einem Mathematiktest zusammen:

Testergebnis	Häufigkeit ( $f$ )	Kumulierte Häufigkeit ( $F_k$ )	Untere Grenze ( $T_b$ )	Klassenbreite ( $p$ )
$61\text{-}70$	$4$	$4$	$60{,}5$	$10$
$71\text{-}80$	$10$	$14$	$70{,}5$	$10$
$81\text{-}90$	$16$	$30$	$80{,}5$	$10$
$91\text{-}100$	$10$	$40$	$90{,}5$	$10$
$Gesamt$	$40$

Gesucht ist das $85$ . Perzentil $P_{85}$ .

$P_{85}$ :

$P_{85}$ liegt an der Datenposition $\frac{85}{100} \times 40 = \frac{3400}{100} = 34$ .

$P_{85}$ :

$Einzusetzende Werte$

Größe	Wert
$T_b$	$90{,}5$
$n$	$40$
$F_{\text{kum}}$	$30$
$f_i$	$10$
$p$	$10$
$P_{85}$ berechnen:

P_{85} = T_b + \left( \frac{\frac{85}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{85}} \right) p

Das geschätzte $85$ . Perzentil beträgt $94{,}5$ . Im interpolierten Modell liegen etwa $85\%$ der Werte auf oder unter $94{,}5$ und etwa $15\%$ darüber.

Übung

Durchgerechnete Lösung

$P_{20}$ :

$P_{20}$ liegt an der Datenposition $\frac{20}{100} \times 40 = \frac{800}{100} = 8$ .

$P_{20}$ :

Betrachte $F_k$ . Die Datenposition $8$ liegt in der Klasse $71\text{-}80$ , denn in der vorherigen Klasse beträgt $F_k$ erst $4$ und in dieser Klasse $F_k$ bereits $14$ .

$Einzusetzende Werte$

Größe	Wert
$T_b$	$70{,}5$
$n$	$40$
$F_{\text{kum}}$	$4$
$f_i$	$10$
$p$	$10$
$P_{20}$ berechnen:

P_{20} = T_b + \left( \frac{\frac{20}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{20}} \right) p

Das geschätzte $20$ . Perzentil beträgt $74{,}5$ . Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse $71\text{-}80$ .