Modus und Median

Maße der zentralen Tendenz

Lagemaße beschreiben die Mitte eines Datensatzes. Median und Modus erfassen diese Mitte auf unterschiedliche Weise. Der Median teilt die geordneten Werte in zwei gleich große Hälften, der Modus nennt dagegen den Wert, der am häufigsten vorkommt.

Der Median als mittlerer Wert

Der Median ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes.

So bestimmst du den Median:

1. Sortiere die Daten vom kleinsten zum größten Wert.
2. Bestimme die mittlere Position oder die beiden mittleren Positionen.

Eine ungerade Anzahl von Werten

Der Median ist der Wert an Position $\frac{n+1}{2}$ in den sortierten Daten.

Beispiel mit einer ungeraden Anzahl von Werten:

Die Punktzahlen von $5 \text{ Lernenden}$ lauten $7, 8, 6, 9, 7$.

Sortiert: $6, 7, 7, 8, 9$ (insgesamt $5$ Werte, also $n=5$)

Mittlere Position: $(5+1)/2 = 3$. An Position $3$ steht der Wert $7$.

Somit gilt $\text{Median} = 7$.

Eine gerade Anzahl von Werten

$x_{(i)}$ steht für den Wert an Position $i$, nachdem die Daten aufsteigend sortiert wurden. Der Median ist der Mittelwert der Werte an den Positionen $n/2$ und $n/2+1$:

Beispiel mit einer geraden Anzahl von Werten:

Die Punktzahlen von $6 \text{ Lernenden}$ lauten $7, 8, 6, 9, 7, 10$.

Sortiert: $6, 7, 7, 8, 9, 10$ (insgesamt $6$ Werte, also $n=6$)

Die mittleren Positionen sind $6/2 = 3$ und $(6/2) + 1 = 4$.

Die beiden mittleren Zahlen sind $7$ und $8$.

Berechne den Mittelwert der beiden mittleren Werte:

Der Median beträgt also $7{,}5$.

Der Median hängt von den Werten an den mittleren Positionen ab. Ändert sich der größte Wert ohne Änderung der Reihenfolge oder Datenanzahl, bleibt der Median gleich. Hinzufügen oder Entfernen von Werten kann die mittleren Positionen verschieben. Dann muss der Median neu berechnet werden.

Der Modus als häufigster Wert

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt, also der Wert mit der höchsten Häufigkeit.

So bestimmst du den Modus:

1. Zähle, wie oft jeder Wert vorkommt.
2. Bestimme den Wert oder die Werte mit der höchsten Häufigkeit.

Beispiel:

Testergebnisse:

Am häufigsten erscheint $7$, und zwar $3 \text{ Mal}$.

Der Modus ist also $7$.

Wichtige Hinweise zum Modus:

• Wenn alle Werte gleich häufig vorkommen, ist kein Wert eindeutig am häufigsten. Nach der hier verwendeten Konvention hat der Datensatz dann keinen Modus.
• Ein Datensatz kann einen Modus haben (unimodal).
• Ein Datensatz kann zwei Modi haben (bimodal), wenn zwei Werte dieselbe höchste Häufigkeit besitzen.
• Ein Datensatz kann mehr als zwei Modi haben (multimodal).

Ein einzelner isolierter Extremwert ändert den Modus normalerweise nicht, da seine Häufigkeit nur eins beträgt.

Die Spannweite zeigt die Gesamtbreite

Neben der Mitte interessiert uns oft, wie weit gestreut die Daten sind. Die Spannweite liefert dafür ein schnelles Maß.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Datenwert.

Beispiel:

Daten: $6, 7, 7, 8, 9, 10$

Größter Wert $= 10$

Kleinster Wert $= 6$

Spannweite $= 10 - 6 = 4$

Die Spannweite zeigt den Abstand zwischen den beiden Endpunkten, beschreibt aber nicht, wie die Werte dazwischen verteilt sind.

Median und Modus beschreiben die Mitte eines Datensatzes, die Spannweite seine Gesamtbreite.