Geordnete Daten in hundert Rangbereiche aufteilen
Du kennst bereits Quartile: Sie teilen geordnete Daten nach Rang in vier Teile. führen denselben Gedanken weiter.
Nakafa
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Perzentile markieren Ränge in Hundertsteln geordneter Daten. Bei endlichen Datensätzen oder wiederholten Werten entstehen nicht unbedingt 100 getrennte Gruppen mit gleicher Anzahl. Auch die Wertebereiche zwischen den Rängen müssen nicht gleich breit sein.
Die inneren Trennpunkte werden meist als , , , ..., bis bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben.
Perzentile beschreiben die relative Position eines Werts innerhalb einer Verteilung. So lässt sich etwa ein Testergebnis mit dem Rest einer Lerngruppe oder ein Wachstumswert mit einer passenden Referenzgruppe vergleichen.
Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine Interpolation, um den Perzentilwert innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen.
Das Verfahren besteht aus zwei Schritten.
Bestimme zuerst die Position des . Perzentils:
Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten , in welchem Klassenintervall diese Position liegt.
Sobald die Perzentilklasse feststeht, interpolieren wir innerhalb dieser Klasse:
Die Größen in dieser Formel bedeuten:
Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber anstelle von .
Die Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie schätzt ein Perzentil anhand des gruppierten Modells, rekonstruiert aber nicht die ursprünglichen Einzelwerte.
Die Tabelle fasst die Ergebnisse von in einem Mathematiktest zusammen:
| Testergebnis | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () | Untere Grenze () | Klassenbreite () |
|---|---|---|---|---|
Gesucht ist das . Perzentil .
Position von bestimmen:
liegt an der Datenposition .
Klasse von bestimmen:
Die kumulierte Häufigkeit erreicht bis zur Klasse und bis zur Klasse . Die Positionen bis liegen daher in der letzten Klasse. Somit gehört zur Klasse .
Einzusetzende Werte
| Größe | Wert |
|---|---|
| berechnen: |
Das geschätzte . Perzentil beträgt . Im interpolierten Modell liegen etwa der Werte auf oder unter und etwa darüber.
Berechne zunächst selbst das . Perzentil aus derselben Tabelle. Vergleiche deinen Rechenweg erst danach mit der Lösung. Notiere die gewählte Klasse und die beiden Grenzen, zwischen denen du interpolierst, damit du die Position innerhalb der Klasse aus den kumulierten Häufigkeiten bestimmen kannst.
Position von :
liegt an der Datenposition .
Klasse von :
Betrachte . Die Datenposition liegt in der Klasse , denn in der vorherigen Klasse beträgt erst und in dieser Klasse bereits .
Einzusetzende Werte
| Größe | Wert |
|---|---|
| berechnen: |
Das geschätzte . Perzentil beträgt . Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse .
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Gesamt |