Perzentile bei gruppierten Daten

Perzentile teilen die Positionen der geordneten Daten nicht in $4$, sondern in $100$ gleich stark besetzte Teile. Jeder Teil enthält denselben Anteil der Beobachtungen, kann aber einen unterschiedlich breiten Wertebereich abdecken.

Die $99$ inneren Trennpunkte werden meist als $P_1$, $P_2$, $P_3$, ..., bis $P_{99}$ bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben.

• $P_{10}$ (das $10$. Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $10\%$ der Beobachtungen liegen; die anderen $90\%$ liegen darüber.
• $P_{50}$ (das $50$. Perzentil) entspricht dem Median oder zweiten Quartil ($Q_2$ ). Es markiert die mittlere Rangposition; bei Bindungen muss nicht genau die Hälfte der beobachteten Werte streng auf jeder Seite liegen.
• $P_{85}$ (das $85$. Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $85\%$ der Beobachtungen liegen; rund $15\%$ liegen darüber.

Perzentile beschreiben die relative Position eines Werts innerhalb einer Verteilung. So lässt sich etwa ein Testergebnis mit dem Rest einer Lerngruppe oder ein Wachstumswert mit einer passenden Referenzgruppe vergleichen.

Perzentilwerte bei gruppierten Daten bestimmen

Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine Interpolation, um den Perzentilwert $P_i$ innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen.

Das Verfahren besteht aus zwei Schritten.

Position der Perzentilklasse bestimmen

Bestimme zuerst die Position des $i$. Perzentils:

• $i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 50, 85$
• $n$ = Gesamthäufigkeit

Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten $F_k$, in welchem Klassenintervall diese Position liegt.

Perzentilwert durch Interpolation berechnen

Sobald die Perzentilklasse feststeht, interpolieren wir innerhalb dieser Klasse:

Dabei gilt:

• $P_i$ = geschätzter Wert des gesuchten Perzentils
• $T_b$ = untere Grenze der Perzentilklasse
• $i$ = Perzentilrang, zum Beispiel $10, 85$
• $n$ = Gesamthäufigkeit
• $F_{\text{kum}}$ = kumulierte Häufigkeit vor der Perzentilklasse
• $f_i$ = Häufigkeit der Perzentilklasse
• $p$ = Klassenbreite

Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber $\frac{i}{100}n$ anstelle von $\frac{i}{4}n$.

Die Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie schätzt ein Perzentil anhand des gruppierten Modells, rekonstruiert aber nicht die ursprünglichen Einzelwerte.

Durchgerechnetes Beispiel: Mathematiktest

Die Tabelle fasst die Ergebnisse von $40 \text{ Lernenden}$ in einem Mathematiktest zusammen:

Gesucht ist das $85$. Perzentil $P_{85}$.

1. Position von $P_{85}$ bestimmen:

   $P_{85}$ liegt an der Datenposition $\frac{85}{100} \times 40 = \frac{3400}{100} = 34$.

2. Klasse von $P_{85}$ bestimmen:

   Die kumulierte Häufigkeit erreicht $F_k = 30$ bis zur Klasse $81\text{-}90$ und bis zur Klasse . Die Positionen bis liegen daher in der letzten Klasse. Somit gehört zur Klasse .

3. Formelwerte notieren:

   • $T_b$ (Untergrenze der Klasse $91\text{-}100$) ist $90{,}5$
   • $i = 85$

4. $P_{85}$ berechnen:

   $$P_{85} = T_b + \left( \frac{\frac{85}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{85}} \right) p$$

Das geschätzte $85$. Perzentil beträgt $94{,}5$. Im interpolierten Modell liegen etwa $85\%$ der Werte auf oder unter $94{,}5$ und etwa $15\%$ darüber.

Übung

Berechne zunächst selbst das $20$. Perzentil $P_{20}$ aus derselben Tabelle. Vergleiche deinen Rechenweg erst danach mit der Lösung.

Durchgerechnete Lösung

1. Position von $P_{20}$:

   $P_{20}$ liegt an der Datenposition $\frac{20}{100} \times 40 = \frac{800}{100} = 8$.

2. Klasse von $P_{20}$:

   Betrachte $F_k$. Die Datenposition $8$ liegt in der Klasse $71\text{-}80$, denn in der vorherigen Klasse beträgt erst und in dieser Klasse bereits .

3. Formelwerte:

   • $T_b = 70{,}5$
   • $i = 20$
   • $n = 40$

4. $P_{20}$ berechnen:

   $$P_{20} = T_b + \left( \frac{\frac{20}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{20}} \right) p$$

Das geschätzte $20$. Perzentil beträgt $74{,}5$. Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse $71\text{-}80$.