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Bei ungruppierten Daten können wir jeden Wert sortieren und seine genaue Position ablesen. In einer Häufigkeitstabelle kennen wir dagegen nur Intervalle, zum Beispiel und , sowie die Anzahl der Werte in jedem Intervall. Die einzelnen Messwerte sind nicht mehr sichtbar.
Wie beim Median gruppierter Daten bestimmen wir , und deshalb durch Interpolation. Wir schätzen, an welcher Stelle innerhalb des betreffenden Klassenintervalls das Quartil liegt.
Wir bestimmen die Position des Quartils mit dieser Formel:
Dabei bezeichnet die Gesamtzahl aller Werte.
Als Beispiel betrachten wir die nach Schuhgrößen gruppierten Verkaufszahlen eines Geschäfts.
Zuerst ergänzen wir die kumulierte Häufigkeit . Sie addiert alle Häufigkeiten von der ersten Klasse bis einschließlich der betrachteten Klasse. Daran erkennen wir, in welchem Intervall eine gesuchte Position liegt.
Die vollständige Tabelle sieht so aus:
| Schuhgröße | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () | Untere Grenze () | Obergrenze () | Klassenbreite () |
|---|---|---|---|---|---|
Nun bestimmen wir zunächst die Position jedes Quartils.
Insgesamt liegen = Werte vor.
Position von : .
In der Spalte endet die erste Klasse an Position und die zweite an Position . Die Positionen bis gehören zur zweiten Klasse, sodass Position in der Klasse liegt.
Position von (Median): .
Position von : .
Sobald die Quartilklasse feststeht, schätzen wir den Wert innerhalb des Intervalls mit folgender Formel:
dabei gilt:
Diese Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie liefert eine modellbasierte Schätzung und kann die durch die Gruppierung verborgenen Einzelwerte nicht rekonstruieren.
Berechnen wir aus der obigen Tabelle.
Position von : .
Klasse von : .
Benötigte Größen ablesen:
Werte einsetzen:
Damit ergibt sich für der Wert . Nach dem gruppierten Modell entfallen also etwa der Verkäufe auf Schuhgröße oder kleiner.
Berechne anhand der Schuhverkaufsdaten aus der Tabelle.
Vergleiche anschließend das Vorgehen mit der Quartilbestimmung für ungruppierte Daten. Warum liefert die gruppierte Tabelle nur einen Schätzwert?
Position von : .
Klasse von : .
Benötigte Größen ablesen:
Werte einsetzen:
Damit ergibt sich für der Wert . Im gruppierten Modell liegen etwa der Verkäufe bei Schuhgröße oder darunter. Die übrigen liegen über .
Vergleich mit Einzeldaten:
Bei gruppierten Daten kennen wir nur die Intervalle, nicht jeden einzelnen Wert. Deshalb liefert die Interpolation einen geschätzten Quartilwert.
Bei ungruppierten Daten sind die sortierten Einzelwerte bekannt. Die gewählte Quartilkonvention kann deshalb einen Wert auswählen oder direkt zwischen zwei bekannten Werten interpolieren. Die Interpolation gruppierter Daten ist ungenauer, weil die Beobachtungen innerhalb jeder Klasse nicht mehr vorliegen.
| Gesamt |
In der Spalte liegt die Position in der Klasse : Der vorherige Wert von ist , der Wert von in dieser Klasse ist .
In der Spalte liegt auch die Position in der Klasse : Der vorherige Wert von ist , der Wert von in dieser Klasse ist .
