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Wenn Daten in Intervalle eingeteilt werden, sind die einzelnen Beobachtungswerte nicht mehr sichtbar. Die Modalklasse lässt sich trotzdem bestimmen, ein exakter Modalwert dagegen nicht unbedingt.
Die Modalklasse ist das Klassenintervall mit der . Es enthält also mehr Beobachtungen als jedes andere Intervall.
Durchgerechnetes Beispiel:
Die folgende Tabelle zeigt die verkauften Schuhgrößen in Geschäft A:
| Schuhgröße (Klassenintervall) | Häufigkeit () |
|---|---|
| (höchste Häufigkeit) | |
| Gesamt |
Die höchste Häufigkeit beträgt . Damit ist die Modalklasse.
Die am häufigsten verkauften Schuhgrößen liegen also in diesem Intervall. Welche einzelne Größe am häufigsten vorkommt, verrät die gruppierte Tabelle nicht.
Der Median teilt geordnete Daten in zwei gleich große Hälften. Bei gruppierten Daten liegt der mittlere Beobachtungswert verborgen in einem Intervall. Deshalb schätzen wir seine Position innerhalb der Medianklasse.
Medianposition berechnen:
Bestimme die Mitte der Daten mit , wobei die Gesamthäufigkeit bezeichnet.
Kumulierte Häufigkeit bilden:
Ergänze eine Spalte für die kumulierte Häufigkeit . Jeder Eintrag summiert die Häufigkeiten von der ersten bis zur gerade betrachteten Klasse.
Medianklasse bestimmen:
Die Medianklasse ist die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit mindestens beträgt.
Medianformel anwenden:
Sobald die Medianklasse feststeht, lässt sich der Median schätzen:
Durchgerechnetes Beispiel:
Wir verwenden wieder die Schuhgrößen aus Geschäft A.
| Schuhgröße | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () |
|---|---|---|
Medianposition: . Gesucht ist die Beobachtung an Position .
Kumulierte Häufigkeit: Sie steht bereits in der Tabelle.
Medianklasse: Nach der zweiten Klasse beträgt die kumulierte Häufigkeit , nach der dritten . Position liegt daher in der Klasse .
Formelkomponenten:
Medianklasse:
Untere Klassengrenze:
Einsetzen in die Medianformel:
Die geschätzte mittlere Schuhgröße beträgt . Mit den kontinuierlichen Klassengrenzen liegt dieser Wert in der Medianklasse .
Das Ergebnis ist eine Schätzung, kein rekonstruierter Einzelwert. Durch die Gruppierung gehen die genauen Werte innerhalb der Intervalle verloren. Für den Mittelwert gruppierter Daten gilt dieselbe Einschränkung.
Dabei gilt:
= geschätzter Median der gruppierten Daten
= untere Klassengrenze der Medianklasse. Bei aufeinanderfolgenden ganzzahligen Klassen gilt:
= Gesamthäufigkeit
= kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse
= Häufigkeit der Medianklasse
= Klassenbreite mit:
Die Korrektur um ist hier nötig, weil die Schuhgrößen als aufeinanderfolgende ganze Zahlen erfasst wurden.
Die Interpolation setzt außerdem voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der Medianklasse gleichmäßig verteilt sind. Das Ergebnis ist daher eine modellbasierte Schätzung und kein rekonstruierter Einzelwert.
| () |
| Gesamt |
Kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse:
Häufigkeit in der Medianklasse:
Klassenbreite:
