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Durch Differenzieren wird aus einer Ortsfunktion ihre Geschwindigkeit . Das unbestimmte Integral kehrt diesen Schritt um: Aus entsteht eine Familie möglicher Ortsfunktionen. Dieser Umkehrprozess heißt , und die entstehende Funktionsfamilie ist das . Erst eine Anfangsposition legt fest, welche Funktion aus dieser Familie gemeint ist.
Vergleiche die folgenden Funktionen mit ihren Ableitungen.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
Alle vier Funktionen haben dieselbe Ableitung . Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten wie , oder ist null.
Beim Differenzieren geht die ursprüngliche Konstante verloren. Aus der Ableitung allein lässt sich nicht mehr erkennen, ob sie , , oder einen anderen Wert hatte. Das Symbol steht für alle Möglichkeiten. Deshalb ist das unbestimmte Integral eine Familie von Stammfunktionen und nicht nur eine einzelne Funktion.
Die formale Schreibweise hält Integrand, Integrationsvariable und die gesamte Familie der Stammfunktionen fest:
Jeder Teil hat eine bestimmte Aufgabe:
Die grundlegende Beziehung lautet:
Wenn eine Funktion die Ableitung hat, dann ist das unbestimmte Integral von die Familie aller möglichen -Funktionen, die wir als schreiben.
