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Gesucht sind Funktionen mit der Ableitung . Die Tabelle vergleicht vier Möglichkeiten. Du erkennst, dass verschiedene Konstanten dieselbe Ableitung ergeben.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
Alle vier Funktionen haben dieselbe Ableitung . Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten wie , oder ist null.
Die Ableitung enthält die Konstante der ursprünglichen Funktion nicht mehr. Deshalb lässt sich aus ihr nicht erkennen, ob diese Konstante , , oder einen anderen Wert hatte. Das Symbol steht für alle möglichen Werte. Das unbestimmte Integral umfasst somit alle Stammfunktionen, die sich nur durch ihre Konstante unterscheiden.
Die Aussage über eine konstante Differenz gilt auf einem Intervall, auf dem die Stammfunktionen definiert sind. Bei diesen Polynomen kann das Intervall alle reellen Zahlen umfassen.
Die drei Parabeln stellen , und dar. Bei demselben Wert von haben die Kurven unterschiedliche Höhen, aber gleiche Tangentensteigungen. Verschiebe oder drehe die Ansicht und vergleiche die Form der Kurven.
Eine Änderung der Konstanten bewirkt eine vertikale Verschiebung. Bei sind die Funktionswerte zum Beispiel , und . Alle drei Ableitungen haben dort den Wert .
Die folgende Schreibweise zeigt Integrand, Integrationsvariable, Stammfunktion und Integrationskonstante:
Jeder Teil hat eine bestimmte Aufgabe:
Zwischen Stammfunktion und unbestimmtem Integral gilt:
Wenn die Ableitung hat, dann umfasst das unbestimmte Integral von alle Funktionen der Form .
Es gelte und . Die allgemeine Stammfunktion lautet . Der bekannte Funktionswert legt die Konstante fest:
Damit ist . Prüfe beide Bedingungen: Die Ableitung von ist , und . Ein Funktionswert wählt genau eine der Stammfunktionen auf demselben Intervall aus.
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