Bestimmtes Integral

Von der Näherung zur exakten Fläche

Im Material Riemann-Summen haben wir die Fläche unter einer nichtnegativen Kurve durch Rechtecke angenähert. Wird die Zerlegung immer feiner, nähern sich die Riemann-Summen bei einer integrierbaren Funktion demselben Wert.

Nun lassen wir die Rechteckbreite $\Delta x$ gegen null gehen, während die Anzahl $n$ der Rechtecke unbegrenzt wächst. Entscheidend ist, dass die $Maschenweite gegen null geht$ . Der Grenzwert der Riemann-Summen ersetzt die Näherung durch einen exakten Wert. Genau daraus entsteht das $bestimmte Integral$ .

Notation und Bedeutung des bestimmten Integrals

Das bestimmte Integral beschreibt diese Akkumulation im Grenzwert. $Es ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert$ , sofern dieser Grenzwert existiert.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x

Jeder Teil der Notation hat eine klare Bedeutung:

$\int_{a}^{b}$ : Das Integralsymbol trägt die $untere Grenze$ $a$ und die $obere Grenze$ $b$ . Beide Werte legen das betrachtete Intervall fest.
$f(x)$ : Der $Integrand$ liefert auf dem gesamten Intervall $[a,b]$ die Werte für die vorzeichenbehaftete Akkumulation.
$dx$ : Wie beim unbestimmten Integral zeigt diese Schreibweise an, dass bezüglich der Variablen $x$ integriert wird.

Ein unbestimmtes Integral umfasst alle Funktionen der Form $F(x) + C$ . Ein bestimmtes Integral ist dagegen eine $einzelne Zahl$ . Sie beschreibt die vorzeichenbehaftete Akkumulation von $x=a$ bis $x=b$ . Nur bei einem nichtnegativen Integranden entspricht diese Zahl dem geometrischen Flächeninhalt.

Berechnung des bestimmten Integrals mit Grenzwerten

$Aufgabe$ : Berechne den Wert von $\int_{0}^{7} x \, dx$ .

$Lösung$ :

Dazu schreiben wir das Integral wieder als Grenzwert einer Riemann-Summe.

$Schritt 1$ : Bestandteile der Riemann-Summe bestimmen

Aus dem Problem $\int_{0}^{7} x \, dx$ wissen wir:

Funktion: $f(x) = x$
Intervall: $[a, b] = [0, 7]$

Somit beträgt die Breite jedes Teilintervalls:

\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{7-0}{n} = \frac{7}{n}

Als Stützstelle jedes Teilintervalls verwenden wir den rechten Endpunkt $x_i$ :

x_i = a + i \Delta x = 0 + i \left(\frac{7}{n}\right) = \frac{7i}{n}

$Schritt 2$ : Riemann-Summe aufstellen

Die Höhe jedes Rechtecks beträgt $f(x_i)$ , also:

f(x_i) = x_i = \frac{7i}{n}

Nun setzen wir diesen Ausdruck in die Riemann-Summe ein:

\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x &= \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{7i}{n}\right) \left(\frac{7}{n}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{49i}{n^2} \end{aligned}

$Schritt 3$ : Vereinfachen und die Summenformel anwenden

$n$ ist für die Summe von $i=1$ bis $n$ konstant. Deshalb kann der Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden.

R_n=\frac{49}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i

Als Nächstes ersetzen wir $\sum_{i=1}^{n} i$ durch die Summenformel $\frac{n(n+1)}{2}$ und vereinfachen den Ausdruck, bevor wir den Grenzwert bilden.

\begin{aligned}R_n&=\frac{49}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{49n(n+1)}{2n^2}\\&=\frac{49(n+1)}{2n}\\&=\frac{49}{2}\left(1+\frac1n\right)\end{aligned}

Zuerst kürzen wir $n$ in Zähler und Nenner. Anschließend zerlegen wir den verbleibenden Bruch so, dass der Grenzwert direkt ablesbar wird.

Für Grenzwerte von Riemann-Summen sind diese Summenformeln besonders nützlich:

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

$Schritt 4$ : Grenzwert bilden

Nun lassen wir $n \to \infty$ gehen. Dabei nähert sich $\frac{1}{n}$ dem Wert null.

\int_{0}^{7} x \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)

Da $f(x) = x$ zwischen $x=0$ und $x=7$ nichtnegativ ist, entspricht das Integral zugleich dem geometrischen Flächeninhalt: $\frac{49}{2}$ beziehungsweise $24{,}5$ Quadrateinheiten. Der Grenzwert hat die Rechtecknäherungen in einen exakten Wert überführt.

Unterschiedliche Rechteckanzahlen vergleichen

Schreibe die Summe mit rechten Stützstellen als $R_n=\frac{49}{2}(1+\frac1n)$ . Vor dem Grenzübergang können wir mehrere Werte von $n$ prüfen. Weil der Graph steigt, liefern die rechten Stützstellen eine $Überschätzung$ .

Anzahl der Rechtecke	Näherung mit rechten Stützstellen
$1$	$49$
$2$	$36{,}75$
$7$	$28$
$10$	$26{,}95$
$100$	$24{,}745$

Der Abstand zum exakten Wert beträgt $R_n-\frac{49}{2}=\frac{49}{2n}$ . Wenn sich die Rechteckanzahl verdoppelt, halbiert sich der Fehler in diesem linearen Beispiel. Den exakten Flächeninhalt kannst du auch als Dreiecksfläche mit Grundseite und Höhe $7$ prüfen:

A=\frac12(7)(7)=\frac{49}{2}