Definition des unbestimmten Integrals

Aus der Geschwindigkeit die Ortsfunktion bestimmen

Durch Differenzieren wird aus einer Ortsfunktion $s(t)$ ihre Geschwindigkeit $v(t)=s'(t)$ . Die $Stammfunktionsbildung$ kehrt diesen Vorgang um. Aus $v(t)$ bestimmen wir alle Ortsfunktionen, deren Ableitung $v(t)$ ist. Erst eine Anfangsposition legt eine bestimmte Ortsfunktion fest.

Aufgabe der Integrationskonstante

Gesucht sind Funktionen mit der Ableitung $4x$ . Die Tabelle vergleicht vier Möglichkeiten. Du erkennst, dass $verschiedene Konstanten$ dieselbe Ableitung ergeben.

Funktion $F(x)$	Ableitung $f(x) = F'(x)$
$F(x) = 2x^2 + 1$	$f(x) = 4x$
$F(x) = 2x^2 + 5$	$f(x) = 4x$
$F(x) = 2x^2 - 10$	$f(x) = 4x$
$F(x) = 2x^2$	$f(x) = 4x$

Alle vier Funktionen $F(x)$ haben dieselbe Ableitung $f(x) = 4x$ . Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten wie $1$ , $5$ oder $-10$ ist null.

Die Ableitung enthält $die Konstante der ursprünglichen Funktion$ nicht mehr. Deshalb lässt sich aus ihr nicht erkennen, ob diese Konstante $1$ , $5$ , $-1000$ oder einen anderen Wert hatte. Das Symbol $C$ steht für alle möglichen Werte. Das unbestimmte Integral umfasst somit alle Stammfunktionen, die sich nur durch ihre Konstante unterscheiden.

Die Aussage über eine konstante Differenz gilt auf $einem Intervall$ , auf dem die Stammfunktionen definiert sind. Bei diesen Polynomen kann das Intervall alle reellen Zahlen umfassen.

Graphen der Stammfunktionen vergleichen

Die drei Parabeln stellen $2x^2$ , $2x^2+1$ und $2x^2+5$ dar. Bei demselben Wert von $x$ haben die Kurven unterschiedliche Höhen, aber gleiche Tangentensteigungen. Verschiebe oder drehe die Ansicht und vergleiche die Form der Kurven.

Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten

Die violette Kurve hat die Konstante null, die orange Kurve eins und die türkise Kurve fünf.

Eine Änderung der Konstanten bewirkt eine $vertikale Verschiebung$ . Bei $x=1$ sind die Funktionswerte zum Beispiel $2$ , $3$ und $7$ . Alle drei Ableitungen haben dort den Wert $4$ .

Formale Notation von Integralen

Die folgende Schreibweise zeigt Integrand, Integrationsvariable, Stammfunktion und Integrationskonstante:

\int f(x) \, dx = F(x) + C

Jeder Teil hat eine bestimmte Aufgabe:

$\int$ ist das $Integralsymbol$ . Seine Form geht auf ein verlängertes S für das lateinische Wort summa zurück, das Summe bedeutet.
$f(x)$ ist die Funktion, die wir integrieren werden, genannt $Integrand$ .
$dx$ heißt $Differential$ von $x$ . Dies ist ein entscheidender Teil, der anzeigt, dass wir in Bezug auf die Variable $x$ integrieren. Ohne sie ist der Integralausdruck unvollständig.
$F(x) + C$ ist das $unbestimmte Integral$ von $f(x)$ . Dies ist unsere Antwort, wobei $F(x)$ die Stammfunktion und $C$ die $Integrationskonstante$ ist.

Zwischen Stammfunktion und unbestimmtem Integral gilt:

\begin{aligned} &\frac{d}{dx} [F(x)] = f(x) \\ &\iff \\ &\int f(x) \, dx = F(x) + C \end{aligned}

Wenn $F(x)$ die Ableitung $f(x)$ hat, dann umfasst das unbestimmte Integral von $f(x)$ alle Funktionen der Form $F(x) + C$ .

Die Konstante aus einem Funktionswert bestimmen

Es gelte $F'(x)=4x$ und $F(1)=7$ . Die allgemeine Stammfunktion lautet $F(x)=2x^2+C$ . Der $bekannte Funktionswert$ legt die Konstante fest:

\begin{aligned}F(1)&=2(1)^2+C=7\\2+C&=7\\C&=5\end{aligned}

Damit ist $F(x)=2x^2+5$ . Prüfe beide Bedingungen: Die Ableitung von $2x^2+5$ ist $4x$ , und $F(1)=2+5=7$ . Ein Funktionswert wählt genau eine der Stammfunktionen auf demselben Intervall aus.