Eigenschaften des bestimmten Integrals

Identische Integrationsgrenzen

Ein bestimmtes Integral ist null, wenn $Obergrenze und Untergrenze übereinstimmen$ . Die Regel gilt für eine Funktion, die auf dem betrachteten Intervall integrierbar ist.

\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0

Ein bestimmtes Integral akkumuliert eine Größe über ein orientiertes Intervall. Von $a$ zurück zum selben Punkt $a$ hat das Intervall keine Breite. Deshalb ist die Akkumulation unabhängig vom Integranden null.

Zum Beispiel hat $f(x)=x$ an der Stelle $x=3$ den Wert $3$ . Das Intervall von $3$ bis $3$ hat jedoch die $Breite null$ . Deshalb ist das Integral trotzdem null:

\int_3^3 x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_3^3=\frac92-\frac92=0

Umkehren der Integrationsgrenzen

Wenn wir die untere und obere Grenze eines Integrals vertauschen, ist das Ergebnis das Negative des ursprünglichen Integralwerts.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx

Die untere und obere Grenze bestimmen die Orientierung des Integrationsintervalls. Werden die Grenzen vertauscht, kehrt sich die Orientierung um und $jeder Beitrag zur Akkumulation wechselt das Vorzeichen$ . Deshalb ist der neue Integralwert das Negative des ursprünglichen Werts.

Eine Stammfunktion von $f(x)=x$ ist $x^2/2$ . In beiden Richtungen ergibt sich der $gleiche Betrag mit umgekehrtem Vorzeichen$ :

\begin{aligned}\int_0^2 x\,dx&=\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=2\\\int_2^0 x\,dx&=\frac{0^2}{2}-\frac{2^2}{2}=-2\end{aligned}

Regel für konstante Vielfache

Genau wie bei unbestimmten Integralen kann eine Konstante aus dem Integral herausgerechnet werden, um die Berechnung zu vereinfachen.

\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Werden alle Funktionswerte mit einer Konstanten $k$ multipliziert, wird auch das Integral mit diesem Faktor multipliziert. Deshalb können wir zuerst $\int_a^b f(x)\,dx$ bestimmen und das Ergebnis anschließend mit $k$ multiplizieren.

Für $k=3$ wird jeder Beitrag $dreimal so groß$ . Die Integrationsgrenzen bleiben unverändert, wenn du die Konstante vor das Integral ziehst:

\int_0^2 3x\,dx=3\int_0^2 x\,dx=3(2)=6

Summenregel und Differenzenregel

Das Integral einer Summe oder Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer einzelnen Integrale.

\begin{aligned} \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\ &\quad{}+ \int_{a}^{b} g(x) \, dx \end{aligned}

Mit dieser Linearität lässt sich ein komplizierter Integrand in einfachere Teile zerlegen. Wir integrieren $f(x)$ und $g(x)$ getrennt und verbinden die vorzeichenbehafteten Akkumulationen mit derselben Rechenoperation.

Beim Integranden $x+1$ berechnest du die Beiträge von $x$ und der Konstanten $1$ getrennt. Beim Zusammenführen bleibt die $Addition erhalten$ :

\begin{aligned}\int_0^2(x+1)\,dx&=\int_0^2x\,dx+\int_0^2 1\,dx\\&=2+[x]_0^2\\&=2+(2-0)=4\end{aligned}

Intervalladditionseigenschaft

Ein Integrationsintervall kann an einem Zwischenpunkt geteilt werden. Die vorzeichenbehaftete Akkumulation über das gesamte Intervall ist die Summe der beiden Teilintegrale.

\begin{aligned} \int_{a}^{c} f(x) \, dx &= \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\ &\quad{}+ \int_{b}^{c} f(x) \, dx \end{aligned}

Die Identität gilt für jede Reihenfolge von $a$ , $b$ und $c$ , sofern die Funktion auf dem benötigten Intervall integrierbar ist. In Worten: Die Akkumulation von $a$ bis $c$ ist gleich der Akkumulation von $a$ bis $b$ plus der Akkumulation von $b$ bis $c$ . Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann dadurch jede Formel genau dort integriert werden, wo sie gilt.

Teile das Intervall $[0,2]$ an der Stelle $x=1$ . Die Tabelle vergleicht beide Teilintegrale:

Intervall	Rechnung	Wert
$[0,1]$	$\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}$	$\frac12$
$[1,2]$	$\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}$	$\frac32$

Beide Teile ergeben zusammen $\frac12+\frac32=2$ , genau wie $\int_0^2 x\,dx$ . $Derselbe Teilungspunkt$ ist die Obergrenze des ersten und die Untergrenze des zweiten Integrals. So wird kein Teil des Intervalls ausgelassen.