Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Erhöhe den Exponenten um eins und dividiere anschließend durch diesen neuen Exponenten.

Der Wert $n=-1$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner sonst null wäre. Für diesen Fall gilt die logarithmische Regel $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.

Berechnen wir als Beispiel $\int x^5 \, dx$.

Hier ist $n=5$, also:

Regel für konstante Vielfache

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden:

Dabei muss $a$ bezüglich der Integrationsvariablen konstant sein.

Summenregel und Differenzenregel

Eine Summe oder Differenz kann gliedweise integriert werden.

Um beispielsweise $\int (x^4 - x^3) \, dx$ zu lösen, trennen wir sie zunächst:

Am Ende genügt eine Integrationskonstante $C$. Formal können die Konstanten der beiden Stammfunktionen als $C_1$ und $C_2$ bezeichnet werden. Ihre Summe oder Differenz ist wieder eine beliebige Konstante, die eine einzige $C$ vollständig erfasst.

Substitutionsregel

Enthält der Integrand einen verketteten Ausdruck zusammen mit dessen Ableitung oder einem konstanten Vielfachen davon, setzen wir den inneren Ausdruck als neue Variable, meist $u=g(x)$. Anschließend ersetzt $du=g'(x)\,dx$ den passenden Ableitungsfaktor.

Dieser Variablenwechsel heißt u-Substitution. Ist der passende Ableitungsfaktor vorhanden, wird aus dem verketteten Integranden $f(u)$.

Übungen

1. Bestimme $\int 6x^2 \, dx$.
2. Bestimme $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$.
3. Löse $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ mit der Substitutionsregel.

Ausführliche Lösungen

1. Für $\int 6x^2 \, dx$ verwenden wir die Faktorregel und die Potenzregel.

   Schritt $1$: Ziehe den konstanten Faktor $6$ vor das Integral.

   $$\int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx$$

   Schritt $2$: Wende die Potenzregel auf $\int x^2 \, dx$ an, wobei $n=2$.

   $$6 \left( \frac{1}{2+1}x^{2+1} \right) + C$$

   Schritt $3$: Multipliziere die konstanten Faktoren.

   $$= 2x^3 + C$$

2. Für das Integral $\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$ verwenden wir die Summen- und Differenzenregel, um es in drei separate Integrale zu zerlegen.

   Schritt $1$: Zerlege die Summe in einzelne Integrale.

3. Das Integral $\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$ ist ein klassisches Beispiel für die Substitutionsregel.

   Schritt $1$: Wähle den Klammerausdruck als $u$.

Veröffentlicht: 22.08.2026. Aktualisiert: 01.09.2026.

Schritt $2$: Integriere jeden Term mit der Potenz- beziehungsweise Faktorregel.

Die Antwort lautet also $x^3 + x^2 - 5x + C$.

Sei: $u = x^2 + 3$.

Schritt $2$: Bestimme die Ableitung von $u$ nach $x$, also $du/dx$.

Daraus können wir $du = 2x \, dx$ schreiben.

Schritt $3$: Ersetze $x^2+3$ durch $u$ und $2x \, dx$ durch $du$.

Schritt $4$: Integriere den vereinfachten Ausdruck mit der Potenzregel.

Schritt $5$: Setze für $u$ wieder den ursprünglichen Ausdruck ein.

Dies ist das Endergebnis.