Eigenschaften des bestimmten Integrals

Ein bestimmtes Integral akkumuliert eine Größe über ein orientiertes Intervall. Von $a$ zurück zum selben Punkt $a$ hat das Intervall keine Breite. Deshalb ist die Akkumulation unabhängig vom Integranden null.

Umkehren der Integrationsgrenzen

Wenn wir die untere und obere Grenze eines Integrals vertauschen, ist das Ergebnis das Negative des ursprünglichen Integralwerts.

Die Grenzen geben dem Intervall eine Orientierung. Wird ein Weg von Punkt $A$ zu Punkt $B$ umgekehrt, ändert die Verschiebung ihr Vorzeichen. Auf dem Rückweg von $B$ nach $A$ wechselt deshalb auch die Akkumulation ihr Vorzeichen. Der gewöhnliche Abstand wäre dagegen immer nichtnegativ.

Regel für konstante Vielfache

Genau wie bei unbestimmten Integralen kann eine Konstante aus dem Integral herausgerechnet werden, um die Berechnung zu vereinfachen.

Werden alle Funktionswerte mit einer Konstanten $k$ multipliziert, wird auch das Integral mit diesem Faktor multipliziert. Deshalb können wir zuerst $\int f(x)dx$ bestimmen und das Ergebnis anschließend mit $k$ multiplizieren.

Summen- und Differenzenregel

Das Integral einer Summe oder Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer einzelnen Integrale.

Mit dieser Linearität lässt sich ein komplizierter Integrand in einfachere Teile zerlegen. Wir integrieren $f(x)$ und $g(x)$ getrennt und verbinden die vorzeichenbehafteten Akkumulationen mit derselben Rechenoperation.

Intervalladditionseigenschaft

Ein Integrationsintervall kann an einem Zwischenpunkt geteilt werden. Die vorzeichenbehaftete Akkumulation über das gesamte Intervall ist die Summe der beiden Teilintegrale.

Die Identität gilt für jede Reihenfolge von $a$, $b$ und $c$, sofern die Funktion auf dem benötigten Intervall integrierbar ist. In Worten: Die Akkumulation von $a$ bis $c$ ist gleich der Akkumulation von $a$ bis $b$ plus der Akkumulation von $b$ bis $c$. Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann dadurch jede Formel genau dort integriert werden, wo sie gilt.