Hauptsatz der Differentialrechnung und Integralrechnung

Wie Ableitungen und Integrale zusammenhängen

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet $Ableitungen$ und $Integrale$ . Er erklärt, weshalb die Ableitung einer Akkumulationsfunktion wieder deren Rate liefert und weshalb sich bestimmte Integrale mit Stammfunktionen auswerten lassen, ohne den Grenzwert einer Riemann-Summe erneut zu berechnen.

Sei $f$ auf dem betrachteten Intervall stetig. Teil Eins differenziert ein Integral mit veränderlicher Obergrenze. Teil Zwei wertet ein Integral mit festen Grenzen mithilfe einer beliebigen Stammfunktion des Integranden aus. Stetigkeit ist eine $hinreichende Voraussetzung$ , die sicherstellt, dass beide Aussagen hier gelten.

Differenzieren einer Integralfunktion

Teil Eins besagt: Wird eine stetige Rate akkumuliert und die Akkumulation anschließend differenziert, $erhält man wieder die ursprüngliche Rate$ .

\begin{aligned} F(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\ F'(x)&= f(x) \end{aligned}

Dies bedeutet, dass die Ableitung einer als Integral definierten Funktion die Funktion innerhalb des Integrals selbst ist.

Ist $f(t)$ die Zuflussrate zum Zeitpunkt $t$ , dann beschreibt $F(x)$ das Volumen, das seit dem Anfangszeitpunkt bis $x$ hinzugekommen ist. Seine momentane Änderungsrate $F'(x)$ entspricht der Zuflussrate $f(x)$ .

$Beispiel$ :

Bestimme die Ableitung von $F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$ .

$Lösung$ :

Nach Teil Eins erhalten wir die Ableitung, indem wir den Integranden an der veränderlichen Obergrenze auswerten: Wir ersetzen $t$ durch $x$ .

\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}

Der Wurzelintegrand ist für $t\ge-2$ definiert und dort stetig. Die Ableitungsformel gilt im $Inneren des Definitionsbereichs$ , also für $x>-2$ .

Eine Funktion als obere Grenze

Ist die obere Grenze $x^2$ , beeinflusst auch ihre Änderung bezüglich $x$ die Ableitung. Wende nach dem Einsetzen der oberen Grenze in den Integranden die $Kettenregel$ an:

\begin{aligned}G(x)&=\int_1^{x^2}\sqrt{2+t}\,dt\\G'(x)&=\sqrt{2+x^2}\cdot\frac{d}{dx}(x^2)\\&=2x\sqrt{2+x^2}\end{aligned}

Der Faktor $2x$ entsteht durch Ableiten der oberen Grenze $x^2$ . Bei $x=0$ ändert sich diese Grenze momentan nicht. Daher ist auch die Ableitung der Akkumulationsfunktion null, obwohl der Integrand positiv ist.

Auswerten von Integralen mit Stammfunktionen

Gilt $F'(x)=f(x)$ , berechnet der zweite Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung das bestimmte Integral als Differenz der Werte von $F$ an beiden Grenzen:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Dabei ist $F(x)$ eine $Stammfunktion$ von $f(x)$ . Die Differenz der Randwerte ergibt die vorzeichenbehaftete Akkumulation von $f(x)$ zwischen $a$ und $b$ . Bei einem nichtnegativen Integranden ist dieser Wert zugleich der geometrische Flächeninhalt.

Diese Differenz schreiben wir oft mit der Klammerschreibweise $[F(x)]_{a}^{b}$ , die $F(b) - F(a)$ bedeutet.

$Beispiel$ 1:

Bestimme den Wert von $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$ .

$Lösung$ :

$Stammfunktion bestimmen$ : Eine Stammfunktion von $f(x) = x^2$ ist $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ .
$An den Grenzen auswerten$ : Berechne $F(3) - F(1)$ .
$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}$

$Beispiel$ 2:

Bestimme den Wert von $\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$ .

$Lösung$ :

$Stammfunktion bestimmen$ : Eine Stammfunktion von $f(x) = 2x - 1$ ist $F(x) = x^2 - x$ .
$An den Grenzen auswerten$ : Berechne $F(5) - F(1)$ .
$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}$

Mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung berechnen wir ein bestimmtes Integral, indem wir eine Stammfunktion bestimmen und ihre Werte an den Grenzen voneinander abziehen.

Wie Ableitungen und Integrale zusammenhängen

Differenzieren einer Integralfunktion

Teil Eins besagt: Wird eine stetige Rate akkumuliert und die Akkumulation anschließend differenziert, $erhält man wieder die ursprüngliche Rate$ .

\begin{aligned} F(x) &= \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\ F'(x)&= f(x) \end{aligned}

Dies bedeutet, dass die Ableitung einer als Integral definierten Funktion die Funktion innerhalb des Integrals selbst ist.

Ist $f(t)$ die Zuflussrate zum Zeitpunkt $t$ , dann beschreibt $F(x)$ das Volumen, das seit dem Anfangszeitpunkt bis $x$ hinzugekommen ist. Seine momentane Änderungsrate $F'(x)$ entspricht der Zuflussrate $f(x)$ .

$Beispiel$ :

Bestimme die Ableitung von $F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$ .

$Lösung$ :

Nach Teil Eins erhalten wir die Ableitung, indem wir den Integranden an der veränderlichen Obergrenze auswerten: Wir ersetzen $t$ durch $x$ .

\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}

Der Wurzelintegrand ist für $t\ge-2$ definiert und dort stetig. Die Ableitungsformel gilt im $Inneren des Definitionsbereichs$ , also für $x>-2$ .

Eine Funktion als obere Grenze

Ist die obere Grenze $x^2$ , beeinflusst auch ihre Änderung bezüglich $x$ die Ableitung. Wende nach dem Einsetzen der oberen Grenze in den Integranden die $Kettenregel$ an:

\begin{aligned}G(x)&=\int_1^{x^2}\sqrt{2+t}\,dt\\G'(x)&=\sqrt{2+x^2}\cdot\frac{d}{dx}(x^2)\\&=2x\sqrt{2+x^2}\end{aligned}

Auswerten von Integralen mit Stammfunktionen

Gilt $F'(x)=f(x)$ , berechnet der zweite Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung das bestimmte Integral als Differenz der Werte von $F$ an beiden Grenzen:

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Diese Differenz schreiben wir oft mit der Klammerschreibweise $[F(x)]_{a}^{b}$ , die $F(b) - F(a)$ bedeutet.

$Beispiel$ 1:

Bestimme den Wert von $\int_{1}^{3} x^2 \, dx$ .

$Lösung$ :

$Stammfunktion bestimmen$ : Eine Stammfunktion von $f(x) = x^2$ ist $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ .
$An den Grenzen auswerten$ : Berechne $F(3) - F(1)$ .
$\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}$

$Beispiel$ 2:

Bestimme den Wert von $\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$ .

$Lösung$ :

$Stammfunktion bestimmen$ : Eine Stammfunktion von $f(x) = 2x - 1$ ist $F(x) = x^2 - x$ .
$An den Grenzen auswerten$ : Berechne $F(5) - F(1)$ .
$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}$

Mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung berechnen wir ein bestimmtes Integral, indem wir eine Stammfunktion bestimmen und ihre Werte an den Grenzen voneinander abziehen.