Die Grundidee der Riemannschen Summen
Stell dir ein Grundstück vor, das auf einer Seite von einer unregelmäßigen Kurve begrenzt wird. Wie lässt sich seine Fläche bestimmen? Eine praktische Näherung besteht darin, das Gebiet in gleich breite rechteckige Streifen zu zerlegen, die Flächen der Streifen zu berechnen und anschließend zu addieren.
Das ist die Grundidee einer Riemann-Summe. Sie nähert eine an, indem das Intervall in Teilintervalle zerlegt und die zugehörigen Rechteckbeiträge addiert werden. Ist die Funktion nicht negativ, entspricht diese Akkumulation der Fläche unter dem Graphen. Für eine Riemann-integrierbare Funktion konvergieren die Summen gegen das bestimmte Integral, wenn die Breite des größten Teilintervalls gegen null geht. Bei gleich breiten Teilintervallen verkleinert eine größere Rechteckzahl diese Breite, auch wenn nicht jeder einzelne Schritt zwingend eine bessere Näherung liefert.