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Wie berechnen Physiker die Energie für einen Raketenstart oder die Kräfte auf eine Staumauer? In beiden Fällen können sich die beteiligten Größen fortlaufend ändern. Integrale erfassen solche Akkumulationen.
In der Physik können viele Größen, die wir benötigen, nicht mit einfachen Formeln berechnet werden, da sie mit kontinuierlichen Änderungen verbunden sind. Beispielsweise kann sich die auf ein Objekt wirkende Kraft mit der Position oder der Zeit ändern. Hier werden Integrale nützlich.
Das Grundkonzept von Integralen in der Physik ist Akkumulation. Wenn wir die Änderungsrate einer Größe kennen, helfen uns Integrale dabei, die Gesamtmenge über ein bestimmtes Intervall zu ermitteln.
Beginnen wir mit der Arbeit. Eine konstante Kraft parallel zur Verschiebung verrichtet die Arbeit W=Fs. Allgemein ist Arbeit das Linienintegral W=∫F⋅dr. Liegen Kraft und Bewegung beide auf der x-Achse, vereinfacht sich das zu W=∫F(x)dx.
Ein Teilchen befindet sich an der Koordinate x, gemessen in Metern vom Ursprung. Die Kraft F(x)=x2+2x Newton wirkt in positive x-Richtung. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft, während sich das Teilchen von x=1 Meter nach x=3 Meter bewegt?
Da die Kraft von der Position abhängt, lässt sich nicht ein einziger Wert von F mit der gesamten Verschiebung multiplizieren. Stattdessen summieren wir die Arbeit entlang des Weges auf:
Die Kraft verrichtet also 350 Joule Arbeit, ungefähr 16,67 Joule.
Nun wenden wir Integrale auf das Hookesche Gesetz an. Je weiter eine Feder zusammengedrückt oder gedehnt wird, desto größer ist die nötige Haltekraft.
Nach dem Hookeschen Gesetz wirkt die Rückstellkraft der Feder der Auslenkung entgegen. Wird die Feder langsam gedehnt oder gestaucht, hat die zum Halten bei der Auslenkung x nötige äußere Kraft denselben Betrag und die entgegengesetzte Richtung:
Dabei ist k die Federkonstante und x die vorzeichenbehaftete Auslenkung aus der Gleichgewichtslage. Das Integral von Fext liefert die an der Feder verrichtete äußere Arbeit und damit die Zunahme ihrer elastischen potenziellen Energie.
Betrachten wir ein reales Beispiel. Angenommen, eine Kraft von 40 N ist erforderlich, um eine Feder zu halten, die von ihrer ursprünglichen Länge von 10 cm auf 15 cm gedehnt wurde. Welche Arbeit ist nun erforderlich, um die Feder von 15 cm auf 18 cm zu dehnen?
Zuerst bestimmen wir die Federkonstante. Die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage beträgt 15−10=5 cm=0,05 m. Für den Betrag der Haltekraft gilt Fext=kx:
Also k=0,0540=800 N/m.
Für die äußere Arbeit beim Dehnen von 15 cm auf 18 cm messen wir beide Positionen von der Gleichgewichtslänge aus:
- Position 15 cm=0,05 m aus der natürlichen Position
- Position 18 cm=0,08 m aus der natürlichen Position
Wir können die Arbeit mit Integralen berechnen:
Eine weitere Anwendung von Integralen in der Physik ist die Berechnung der Masse eines Objekts, wenn wir seine Dichtefunktion kennen. Dies ist sehr nützlich für Objekte mit ungleichmäßiger Dichte.
Wir betrachten einen 2 Meter langen Stab mit der linearen Dichte ρ(x)=(3x+2)kg/m. Dabei ist x die in Metern gemessene Koordinate von einem Ende des Stabes. Wie groß ist seine Gesamtmasse?
Ein weiteres sehr wichtiges Konzept ist der Massenschwerpunkt. Für Objekte mit ungleichmäßiger Dichte kann der Massenschwerpunkt mithilfe von Integralen berechnet werden.
Wenn wir einen Stab mit der Dichte ρ(x) über das Intervall [a,b] haben, dann ist die Schwerpunktskoordinate:
Für den Stab mit der Dichte ρ(x)=3x+2 oben:
Der Massenschwerpunkt ist die Koordinate, an der die Gesamtmasse dasselbe erste Moment wie die tatsächliche Massenverteilung erzeugt. In einem gleichförmigen Schwerefeld ist das der natürliche Gleichgewichtspunkt. Die Rotationsbewegung hängt weiterhin davon ab, wie die Masse verteilt ist.
Das Trägheitsmoment beschreibt, wie die Masse relativ zu einer festgelegten Drehachse verteilt ist. Bei einer festen Achse bestimmt es über τ=Iα, welche Winkelbeschleunigung ein Drehmoment hervorruft. Für einen kontinuierlichen Körper gilt:
wobei r der Abstand von der Rotationsachse und dm das Massenelement ist.
Für einen homogenen Stab mit der Masse M und der Länge L, der sich um eines seiner Enden dreht:
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Ein Teilchen bewegt sich entlang der x-Achse. Die Kraft F(x)=4x−x2 Newton wirkt in Bewegungsrichtung. Berechne die Arbeit dieser Kraft von x=0 bis x=3 Meter.
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Eine Feder hat die Federkonstante k=200 N/m. Wie viel Energie ist gespeichert, wenn sie um 0,1 Meter aus der Gleichgewichtslage gedehnt wird?
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Ein 4 Meter langer Draht hat die lineare Dichte ρ(x)=(2+x)kg/m, wobei x in Metern gemessen wird. Bestimme die Gesamtmasse und die Lage des Massenschwerpunkts.
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Berechnung der Arbeit mit variabler Kraft
Die geleistete Arbeit beträgt 9 Joule.
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Berechnung der Federenergie
Die in der Feder gespeicherte potenzielle Energie beträgt:
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Berechnung der Drahtmasse und des Massenschwerpunktes
Gesamtmasse:
Die gespeicherte potentielle Energie beträgt 1 Joule.
Die Gesamtmasse des Drahtes beträgt 16 kg und sein Massenschwerpunkt liegt an der Position 37Meter vom Ende entfernt.
