Integrale in der Physik

Integrale summieren veränderliche Größen

Viele physikalische Größen ändern sich kontinuierlich. Eine Kraft kann zum Beispiel vom Ort abhängen, sodass ein einzelner Kraftwert nicht für den gesamten Weg gilt. Ein $Integral$ $summiert die Beiträge über das gewählte Intervall$ .

Dasselbe Prinzip gilt bei bekannten Raten oder Dichten. Das Integral einer Änderungsrate ergibt die Gesamtänderung. Das Integral einer Dichte ergibt die über eine Länge, Fläche oder ein Volumen verteilte Menge.

Berechnen der Arbeit mit Integralen

Beginnen wir mit der Arbeit. Eine konstante Kraft parallel zur Verschiebung verrichtet die Arbeit $W=Fs$ . Allgemein ist Arbeit das Linienintegral $W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ . Liegen Kraft und Bewegung beide auf der $x$ -Achse, vereinfacht sich das zu $W=\int F(x)\,dx$ .

Ein Teilchen befindet sich an der Koordinate $x$ , gemessen in Metern vom Ursprung. Die Kraft $F(x) = x^2 + 2x$ Newton wirkt in positive $x$ -Richtung. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft, während sich das Teilchen von $x = 1 \text{ Meter}$ nach $x = 3 \text{ Meter}$ bewegt?

Da die $Kraft von der Position abhängt$ , lässt sich nicht ein einziger Wert von $F$ mit der gesamten Verschiebung multiplizieren. Wir summieren deshalb die kleinen Arbeitsbeiträge entlang des Weges:

\begin{aligned} W &= \int_{1}^{3} F(x) \, dx \\ &= \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx \end{aligned}

Wir berechnen:

W = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{1}^{3}

Die Kraft verrichtet also $\frac{50}{3}$ Joule Arbeit, ungefähr $16{,}67$ Joule.

Hookes Gesetz und Federenergie

Das Modell setzt eine $ideale Feder im linear-elastischen Bereich$ voraus. Nach dem Hookeschen Gesetz erfordert eine größere Dehnung oder Stauchung eine größere Haltekraft.

Nach dem Hookeschen Gesetz wirkt die Rückstellkraft der Feder der Auslenkung entgegen. Wird die Feder langsam gedehnt oder gestaucht, hat die zum Halten bei der Auslenkung $x$ nötige äußere Kraft denselben Betrag und die entgegengesetzte Richtung:

F_s(x)=-kx,\qquad F_{\mathrm{ext}}(x)=kx

Dabei ist $k$ die Federkonstante und $x$ die vorzeichenbehaftete Auslenkung aus der Gleichgewichtslage. Das Integral von $F_{\mathrm{ext}}$ liefert die an der Feder verrichtete äußere Arbeit und damit die Zunahme ihrer elastischen potenziellen Energie.

Angenommen, eine Kraft von $40 \text{ N}$ ist erforderlich, um eine Feder zu halten, die von ihrer ursprünglichen Länge von $10 \text{ cm}$ auf $15 \text{ cm}$ gedehnt wurde. Welche Arbeit ist nun erforderlich, um die Feder von $15 \text{ cm}$ auf $18 \text{ cm}$ zu dehnen?

Zuerst bestimmen wir die Federkonstante. Die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage beträgt $15 - 10 = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$ . Für den Betrag der Haltekraft gilt $F_{\mathrm{ext}} = kx$ :

40 = k \times 0{,}05

Also $k = \frac{40}{0{,}05} = 800 \text{ N/m}$ .

Für die äußere Arbeit beim Dehnen von $15 \text{ cm}$ auf $18 \text{ cm}$ messen wir beide Positionen von der Gleichgewichtslänge aus:

Gesamtlänge	Verlängerung gegenüber der Ruhelänge	Integrationsgrenze
$15\text{ cm}$	$(15-10)\text{ cm}=5\text{ cm}$	$0{,}05\text{ m}$
$18\text{ cm}$	$(18-10)\text{ cm}=8\text{ cm}$	$0{,}08\text{ m}$

Wir können die Arbeit mit Integralen berechnen:

W = \int_{0{,}05}^{0{,}08} 800x \, dx

Berechnung der Masse aus Dichtefunktionen

Ändert sich die Dichte eines Körpers mit dem Ort, ist seine $Masse$ das Integral der Dichtefunktion über seine Länge, Fläche oder sein Volumen.

Wir betrachten einen $2 \text{ Meter}$ langen Stab mit der linearen Dichte $\rho(x) = (3x + 2)\,\text{kg/m}$ . Dabei ist $x$ die in Metern gemessene Koordinate von einem Ende des Stabes. Wie groß ist seine Gesamtmasse?

m = \int_{0}^{2} \rho(x) \, dx = \int_{0}^{2} (3x + 2) \, dx

Bestimmung des Massenschwerpunkts

Bei Objekten mit ungleichmäßiger Dichte lässt sich auch der $Massenschwerpunkt$ mithilfe von Integralen bestimmen.

Wenn wir einen Stab mit der Dichte $\rho(x)$ über das Intervall $[a, b]$ haben, dann ist die Schwerpunktskoordinate:

\bar{x} = \frac{\int_{a}^{b} x \rho(x) \, dx}{\int_{a}^{b} \rho(x) \, dx}

Für den Stab mit der Dichte $\rho(x) = 3x + 2$ oben:

\bar{x} = \frac{\int_{0}^{2} x(3x + 2) \, dx}{10}

Der Massenschwerpunkt ist die Koordinate, an der die Gesamtmasse dasselbe erste Moment wie die tatsächliche Massenverteilung erzeugt. In einem gleichförmigen Schwerefeld ist das der natürliche Gleichgewichtspunkt. Die Rotationsbewegung hängt weiterhin davon ab, wie die Masse verteilt ist.

Die Dichte wächst von $2 \text{ kg/m}$ am linken Ende auf $8 \text{ kg/m}$ am rechten Ende. Weil die $rechte Seite dichter$ ist, liegt der Schwerpunkt bei $1{,}2 \text{ m}$ rechts vom Mittelpunkt bei $1 \text{ m}$ .

Zunehmende Dichte des Stabes

Die waagerechte Achse zeigt die Position in Metern, die senkrechte Achse die lineare Dichte in Kilogramm pro Meter. Die orange Linie markiert die Schwerpunktposition.

Berechnung des Trägheitsmoments

Das $Trägheitsmoment$ beschreibt, wie die Masse relativ zu einer festgelegten Drehachse verteilt ist. Bei einer festen Achse bestimmt es über $\tau=I\alpha$ , welche Winkelbeschleunigung ein Drehmoment hervorruft. Für einen kontinuierlichen Körper gilt:

I = \int r^2 \, dm

In dieser Formel ist $r$ der Abstand von der Rotationsachse und $dm$ das Massenelement.

Für einen $dünnen homogenen Stab$ der Masse $M$ und Länge $L$ wählen wir eine Achse durch ein Ende $senkrecht zum Stab$ . Jedes Massenelement hat den Abstand $x$ von dieser Achse. Damit gilt:

\begin{aligned} I &= \int_{0}^{L} x^2 \frac{M}{L} \, dx \\ &= \frac{M}{L} \int_{0}^{L} x^2 \, dx \\ &= \frac{M}{L} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{L} \\ &= \frac{ML^2}{3} \end{aligned}

Übungen

Für Arbeit und Federenergie integrierst du die Kraft über die Verschiebung. Für die Masse integrierst du die lineare Dichte über die Länge. $Prüfe die Einheiten$ : Newton mal Meter ergibt Joule. Kilogramm pro Meter mal Meter ergibt Kilogramm.

Ein Teilchen bewegt sich entlang der $x$ -Achse. Die Kraft $F(x) = 4x - x^2$ Newton wirkt in Bewegungsrichtung. Berechne die Arbeit dieser Kraft von $x = 0$ bis $x = 3 \text{ Meter}$ .
Eine Feder hat die Federkonstante $k = 200 \text{ N/m}$ . Wie viel Energie ist gespeichert, wenn sie um $0{,}1 \text{ Meter}$ aus der Gleichgewichtslage gedehnt wird?
Ein $4 \text{ Meter}$ langer Draht hat die lineare Dichte $\rho(x) = (2 + x)\,\text{kg/m}$ , wobei $x$ in Metern gemessen wird. Bestimme die Gesamtmasse und die Lage des Massenschwerpunkts.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Die Kraft hängt vom Ort ab. Wir summieren die Beiträge $F(x)\,dx$ von $0$ bis $3$ und bilden dann die $Differenz der Stammfunktionswerte$ an den Grenzen.

W = \int_{0}^{3} (4x - x^2) \, dx

Die geleistete Arbeit beträgt $9$ Joule.

$Aufgabe 2$ . Beim langsamen Dehnen der Feder wächst die benötigte äußere Kraft gemäß $F(x)=kx$ . Die gespeicherte $potenzielle Energie$ entspricht der Arbeit dieser Kraft von null bis $0{,}1$ Meter Dehnung.

E = \int_{0}^{0{,}1} kx \, dx = \int_{0}^{0{,}1} 200x \, dx

Die gespeicherte potentielle Energie beträgt $1$ Joule.

$Aufgabe 3$ . Addiere die Masse jedes kurzen Drahtstücks. Sie ergibt sich aus der linearen Dichte mal der Stücklänge:

\begin{aligned} m &= \int_{0}^{4} (2 + x) \, dx \\ &= \left[2x + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} \\ &= 8 + 8 \\ &= 16 \text{ kg} \end{aligned}

Für den Schwerpunkt gewichtest du die Masse jedes Stücks mit seiner Position. Teile anschließend das gesamte Massenmoment durch die Gesamtmasse:

\bar{x} = \frac{\int_{0}^{4} x(2 + x) \, dx}{16}

Die Gesamtmasse des Drahtes beträgt $16 \text{ kg}$ und sein Massenschwerpunkt liegt an der Position $\frac{7}{3} \text{ Meter}$ vom Ende entfernt.

Die Schwerpunktposition wird vom Ende mit $x=0$ gemessen. Sie liegt rechts vom Mittelpunkt, weil die $Dichte zum anderen Ende hin zunimmt$ .