Riemannsumme

Eine Grundstücksfläche mit Rechteckstreifen schätzen

Stell dir ein Grundstück vor, das an einer Seite von einer unregelmäßigen Kurve begrenzt wird. Um seine Fläche zu schätzen, können wir das Grundstück in gleich breite rechteckige Streifen zerlegen. Anschließend berechnen wir die Fläche jedes Streifens und addieren die Ergebnisse.

Eine Riemannsumme zerlegt ein Intervall in Teilintervalle, wählt in jedem Teilintervall eine Stützstelle und addiert die vorzeichenbehafteten Rechteckbeiträge. Für eine Riemann-integrierbare Funktion nähern sich diese Summen dem bestimmten Integral, wenn die Breite des größten Teilintervalls gegen null geht. Ist die Funktion nicht negativ, entspricht die vorzeichenbehaftete Akkumulation der Fläche unter dem Graphen. Bei gleich breiten Teilintervallen werden die Rechtecke schmaler, wenn ihre Anzahl steigt. Ein zusätzliches Rechteck muss die Summe jedoch nicht bei jedem Schritt näher an den Wert des bestimmten Integrals bringen.

Intervallzerlegung und Breite

Vier Größen bestimmen eine Riemannsumme mit gleich breiten Teilintervallen:

Als Stützstelle kann der linke Randpunkt, der rechte Randpunkt, der Mittelpunkt oder ein anderer Punkt im Teilintervall gewählt werden.

Die Riemannsche Summenformel

Wenn wir alle diese Komponenten kombinieren, erhalten wir die allgemeine Formel für eine Riemann-Summe:

Die Sigma-Notation addiert vorzeichenbehaftete Beiträge: jeden Funktionswert an einer Stützstelle mal Teilintervallbreite. Ein negativer Funktionswert ergibt einen negativen Summanden, obwohl der geometrische Rechteckinhalt nicht negativ ist.

Linke Riemannsumme einer linearen Funktion

Aufgabe: Bestimme die Riemann-Summe für die Funktion $f(x) = x$ im Intervall $[0, 7]$. Zerlege das Intervall dazu in $7$ gleich lange Teilintervalle und verwende jeweils den linken Randpunkt als Stützstelle.

Schritt 1: Breite und Stützstellen bestimmen.

Auf $[0,7]$ mit $n=7$ hat jedes Teilintervall die Breite:

Mit linken Randpunkten erhalten wir die Stützstellen $0,1,2,3,4,5,6$. Wegen $f(x)=x$ entspricht jede Rechteckhöhe der gewählten Koordinate.

Schritt 2: Die sieben Beiträge addieren.

Multipliziere jede Höhe mit der Breite $1$ und addiere die Beiträge. Das erste Rechteck trägt null bei, weil seine Höhe bei $x=0$ null ist.

Die linke Riemannsumme schätzt die Fläche somit auf $21$ Flächeneinheiten.

Auf $[0,7]$ ist $f(x)=x$ nicht negativ und streng monoton steigend. Deshalb liegen die Rechtecke mit linken Randpunkten unter dem Graphen und unterschätzen die tatsächliche Fläche. Rechtecke mit rechten Randpunkten überschätzen sie dagegen.

Übungen

In jeder Aufgabe ist eine Fläche durch Rechtecke anzunähern, deshalb legst du zuerst die Anzahl der Teilintervalle und den Stützpunkt in jedem Teilintervall fest, bevor du die Terme addierst.

1. Berechne die Riemann-Summe für die Funktion $f(x) = x^2 + 1$ im Intervall $[0, 4]$ mit $4$ gleich breiten Teilintervallen und dem rechten Randpunkt als Stützstelle.

Ausführliche Lösung

Wir berechnen die Riemann-Summe für $f(x) = x^2+1$ auf $[0,4]$ mit $n=4$.

Schritt 1: Hauptkomponenten bestimmen. Die Funktion ist $f(x)=x^2+1$, das Intervall $[0,4]$ und die Anzahl der Teilintervalle $n=4$. Die Höhe folgt jeweils aus dem rechten Randpunkt.

Schritt 2: Teilintervallbreite berechnen.

Schritt 3: Rechte Randpunkte als Stützstellen bestimmen.

Die Teilintervalle sind:

Für die Methode des rechten Endpunkts nehmen wir den Wert von $x$ von der rechten Seite jedes Teilintervalls:

Schritt 4: Höhe jedes Rechtecks berechnen.

Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funktionswert von $f(x) = x^2 + 1$ am rechten Randpunkt:

Schritt 5: Gesamte Riemann-Summe berechnen.

Jetzt summieren wir die Flächen aller Rechtecke ($\text{Höhe} \times \text{Breite}$):

Somit ist die Riemann-Summe für die Funktion $34$.