Kombination

Eine Gruppe ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen

Stell dir vor, du wählst $3 \text{ Freunde}$ für eine Futsalmannschaft aus. Ana, Budi und Citra bilden unabhängig von der Reihenfolge immer dasselbe Team. Entscheidend ist, $wer$ ausgewählt wird.

Das ist der entscheidende Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen. Eine $Kombination$ beschreibt eine Auswahl aus einer größeren Menge, bei der die $Reihenfolge keine Rolle spielt$ .

Kombinationen begegnen uns zum Beispiel beim:

Auswählen von Gerichten aus einer Speisekarte
Zusammenstellen eines Teams
Wählen von Schulfächern
Kombinieren von Farben für einen Entwurf

Bei einer Permutation sind $ABC$ und $BAC$ verschiedene Anordnungen. Bei einer Kombination $stehen beide für dieselbe Auswahl$ , weil sie dieselben Elemente enthalten.

Kombinationsformel

Für die Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Objekte aus $n$ verschiedenen verfügbaren Objekten auszuwählen, gilt:

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$C(n,k)$ oder $\binom{n}{k}$ bezeichnet die Auswahl von $k$ Objekten aus $n$ Objekten
$n$ ist die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte
$k$ ist die Anzahl der auszuwählenden Objekte
$n!$ ist die Fakultät von $n$

Warum unterscheidet sich diese Formel von der Permutation?

Die Kombinationsformel entsteht, wenn die Anzahl der Permutationen durch $k!$ geteilt wird:

C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Wir teilen durch $k!$ , weil sich dieselben $k$ Objekte in $k!$ Reihenfolgen anordnen lassen. Eine Kombination fasst all diese Anordnungen zu $einer Auswahl$ zusammen.

Die Auswahl von zwei der drei Personen A, B und C zeigt die Division durch $2!$ . Jedes Paar hat zwei Reihenfolgen, aber nur eine Mitgliedermenge.

Auswahl	Von Permutationen gezählte Reihenfolgen
A, B	AB, BA
A, C	AC, CA
B, C	BC, CB

C(3,2)=\frac{3\times2}{2!}=\frac{6}{2}=3

Auswahlen mit und ohne Bedingungen zählen

Ohne Zusatzbedingung zählt eine Formel die Auswahlen direkt. Bei einer Mindestanforderung zerlegst du die Auswahlen in $überschneidungsfreie Fälle$ , damit jede Auswahl genau einmal gezählt wird.

Bildung einer Sportmannschaft

Auf wie viele Arten lassen sich aus $10 \text{ Lernenden}$ $5 \text{ Lernende}$ auswählen?

C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}

Auswahl von Gerichten

Ein Restaurant bietet $8$ Gerichte an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, davon $3$ ?

C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}

Mindestens zwei Schülerinnen auswählen

Manche Auswahlen müssen $zusätzliche Bedingungen$ erfüllen. Aus $12 \text{ Lernenden}$ ( $7 \text{ Schüler}$ und $5 \text{ Schülerinnen}$ ) sollen beispielsweise $4 \text{ Lernende}$ ausgewählt werden, darunter mindestens $2 \text{ Schülerinnen}$ .

$Lösungsstrategie$ :

$Erfasse alle Fälle$ , die die Bedingung erfüllen
$Trenne die Fälle$ : $2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$ , $3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$ oder $4 \text{ Schülerinnen}$
$Addiere$ die Anzahlen aller Fälle

$Detaillierte Berechnungen$ :

$Fall 1$ : $2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$

\begin{aligned} &C(5,2) \times C(7,2) \\ &= \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$

\begin{aligned} &C(5,3) \times C(7,1) \\ &= \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $4 \text{ Schülerinnen} + 0 \text{ Schüler}$

C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5

$Gesamt$ : $210 + 70 + 5 = 285$ Möglichkeiten

Übungsaufgaben

Bearbeite jede Aufgabe zunächst selbst. Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, und notiere danach alle gültigen Fälle $ohne Überschneidungen$ .

Auf wie viele Arten kannst du aus $8 \text{ verschiedenen Büchern}$ $3 \text{ Bücher}$ für die Ferien auswählen?
Eine Futsalmannschaft hat $12 \text{ Spieler}$ . Auf wie viele Arten kann sie $5 \text{ Spieler}$ für das Spielfeld auswählen?
In einer Schachtel liegen $6 \text{ rote Kugeln}$ und $4 \text{ blaue Kugeln}$ . Jede Kugel trägt eine andere Nummer, sodass auch gleichfarbige Kugeln unterscheidbar sind. Auf wie viele Arten lassen sich $5 \text{ Kugeln}$ auswählen, wenn mindestens $3 \text{ rote Kugeln}$ dabei sein müssen?
Ein Schüler wählt $4 \text{ Fächer}$ aus $10 \text{ verfügbaren Fächern}$ . Davon sind $6 \text{ Fächer}$ naturwissenschaftlich und $4 \text{ Fächer}$ geisteswissenschaftlich. Wie viele Auswahlen enthalten mindestens $2 \text{ naturwissenschaftliche Fächer}$ ?

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

56 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte:

Gegeben: $n = 8$ Bücher, davon werden $k = 3$ ausgewählt

Kombinationsformel:

C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Es gibt also $56 \text{ Möglichkeiten}$ , $3 \text{ Bücher}$ aus $8 \text{ verfügbaren Büchern}$ auszuwählen.

$Aufgabe 2$

792 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte:

Gegeben: $n = 12$ Spieler, davon werden $k = 5$ ausgewählt

Kombinationsformel:

C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}

Die Futsalmannschaft kann $5 \text{ Spieler}$ aus $12 \text{ Spielern}$ auf $792 \text{ verschiedene Arten}$ auswählen.

$Aufgabe 3$

186 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte ( $Fallunterscheidung$ ):

Insgesamt liegen $6 \text{ rote} + 4 \text{ blaue}$ , also $10 \text{ Kugeln}$ , in der Schachtel.

Gesucht sind $5 \text{ Kugeln}$ mit mindestens $3$ roten Kugeln.

$Detaillierte Berechnung für jeden Fall$ :

$Fall 1$ : $3 \text{ rote} + 2 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $4 \text{ rote} + 1 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $5 \text{ rote} + 0 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,5) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}

$Gesamt$ : $120 + 60 + 6 = 186$

Es gibt $186 \text{ Möglichkeiten}$ , $5 \text{ Kugeln}$ mit mindestens $3$ roten Kugeln auszuwählen.

$Aufgabe 4$

185 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte ( $Fallunterscheidung$ ):

Naturwissenschaftliche Fächer: $6$ , geisteswissenschaftliche Fächer: $4$

Ausgewählt werden $4 \text{ Fächer}$ mit mindestens $2 \text{ naturwissenschaftlichen}$ .

$Detaillierte Berechnung für jeden Fall$ :

$Fall 1$ : $2 \text{ naturwissenschaftliche} + 2 \text{ geisteswissenschaftliche}$

\begin{aligned} &C(6,2) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $3 \text{ naturwissenschaftliche} + 1 \text{ geisteswissenschaftliches}$

\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $4 \text{ naturwissenschaftliche} + 0 \text{ geisteswissenschaftliche}$

\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}

$Gesamt$ : $90 + 80 + 15 = 185$

Unter dieser Bedingung gibt es $185 \text{ Möglichkeiten}$ , die Fächer auszuwählen.

Eine Gruppe ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen

Stell dir vor, du wählst $3 \text{ Freunde}$ für eine Futsalmannschaft aus. Ana, Budi und Citra bilden unabhängig von der Reihenfolge immer dasselbe Team. Entscheidend ist, $wer$ ausgewählt wird.

Das ist der entscheidende Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen. Eine $Kombination$ beschreibt eine Auswahl aus einer größeren Menge, bei der die $Reihenfolge keine Rolle spielt$ .

Kombinationen begegnen uns zum Beispiel beim:

Auswählen von Gerichten aus einer Speisekarte
Zusammenstellen eines Teams
Wählen von Schulfächern
Kombinieren von Farben für einen Entwurf

Bei einer Permutation sind $ABC$ und $BAC$ verschiedene Anordnungen. Bei einer Kombination $stehen beide für dieselbe Auswahl$ , weil sie dieselben Elemente enthalten.

Kombinationsformel

Für die Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Objekte aus $n$ verschiedenen verfügbaren Objekten auszuwählen, gilt:

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$C(n,k)$ oder $\binom{n}{k}$ bezeichnet die Auswahl von $k$ Objekten aus $n$ Objekten
$n$ ist die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte
$k$ ist die Anzahl der auszuwählenden Objekte
$n!$ ist die Fakultät von $n$

Warum unterscheidet sich diese Formel von der Permutation?

Die Kombinationsformel entsteht, wenn die Anzahl der Permutationen durch $k!$ geteilt wird:

C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Wir teilen durch $k!$ , weil sich dieselben $k$ Objekte in $k!$ Reihenfolgen anordnen lassen. Eine Kombination fasst all diese Anordnungen zu $einer Auswahl$ zusammen.

Die Auswahl von zwei der drei Personen A, B und C zeigt die Division durch $2!$ . Jedes Paar hat zwei Reihenfolgen, aber nur eine Mitgliedermenge.

Auswahl	Von Permutationen gezählte Reihenfolgen
A, B	AB, BA
A, C	AC, CA
B, C	BC, CB

C(3,2)=\frac{3\times2}{2!}=\frac{6}{2}=3

Auswahlen mit und ohne Bedingungen zählen

Ohne Zusatzbedingung zählt eine Formel die Auswahlen direkt. Bei einer Mindestanforderung zerlegst du die Auswahlen in $überschneidungsfreie Fälle$ , damit jede Auswahl genau einmal gezählt wird.

Bildung einer Sportmannschaft

Auf wie viele Arten lassen sich aus $10 \text{ Lernenden}$ $5 \text{ Lernende}$ auswählen?

C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}

Auswahl von Gerichten

Ein Restaurant bietet $8$ Gerichte an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, davon $3$ ?

C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}

Mindestens zwei Schülerinnen auswählen

$Lösungsstrategie$ :

$Erfasse alle Fälle$ , die die Bedingung erfüllen
$Trenne die Fälle$ : $2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$ , $3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$ oder $4 \text{ Schülerinnen}$
$Addiere$ die Anzahlen aller Fälle

$Detaillierte Berechnungen$ :

$Fall 1$ : $2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$

\begin{aligned} &C(5,2) \times C(7,2) \\ &= \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$

\begin{aligned} &C(5,3) \times C(7,1) \\ &= \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $4 \text{ Schülerinnen} + 0 \text{ Schüler}$

C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5

$Gesamt$ : $210 + 70 + 5 = 285$ Möglichkeiten

Übungsaufgaben

Bearbeite jede Aufgabe zunächst selbst. Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, und notiere danach alle gültigen Fälle $ohne Überschneidungen$ .

Auf wie viele Arten kannst du aus $8 \text{ verschiedenen Büchern}$ $3 \text{ Bücher}$ für die Ferien auswählen?
Eine Futsalmannschaft hat $12 \text{ Spieler}$ . Auf wie viele Arten kann sie $5 \text{ Spieler}$ für das Spielfeld auswählen?
In einer Schachtel liegen $6 \text{ rote Kugeln}$ und $4 \text{ blaue Kugeln}$ . Jede Kugel trägt eine andere Nummer, sodass auch gleichfarbige Kugeln unterscheidbar sind. Auf wie viele Arten lassen sich $5 \text{ Kugeln}$ auswählen, wenn mindestens $3 \text{ rote Kugeln}$ dabei sein müssen?
Ein Schüler wählt $4 \text{ Fächer}$ aus $10 \text{ verfügbaren Fächern}$ . Davon sind $6 \text{ Fächer}$ naturwissenschaftlich und $4 \text{ Fächer}$ geisteswissenschaftlich. Wie viele Auswahlen enthalten mindestens $2 \text{ naturwissenschaftliche Fächer}$ ?

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

56 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte:

Gegeben: $n = 8$ Bücher, davon werden $k = 3$ ausgewählt

Kombinationsformel:

C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}

Es gibt also $56 \text{ Möglichkeiten}$ , $3 \text{ Bücher}$ aus $8 \text{ verfügbaren Büchern}$ auszuwählen.

$Aufgabe 2$

792 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte:

Gegeben: $n = 12$ Spieler, davon werden $k = 5$ ausgewählt

Kombinationsformel:

C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}

Die Futsalmannschaft kann $5 \text{ Spieler}$ aus $12 \text{ Spielern}$ auf $792 \text{ verschiedene Arten}$ auswählen.

$Aufgabe 3$

186 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte ( $Fallunterscheidung$ ):

Insgesamt liegen $6 \text{ rote} + 4 \text{ blaue}$ , also $10 \text{ Kugeln}$ , in der Schachtel.

Gesucht sind $5 \text{ Kugeln}$ mit mindestens $3$ roten Kugeln.

$Detaillierte Berechnung für jeden Fall$ :

$Fall 1$ : $3 \text{ rote} + 2 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $4 \text{ rote} + 1 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $5 \text{ rote} + 0 \text{ blaue}$

\begin{aligned} &C(6,5) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}

$Gesamt$ : $120 + 60 + 6 = 186$

Es gibt $186 \text{ Möglichkeiten}$ , $5 \text{ Kugeln}$ mit mindestens $3$ roten Kugeln auszuwählen.

$Aufgabe 4$

185 \text{ Möglichkeiten}

Lösungsschritte ( $Fallunterscheidung$ ):

Naturwissenschaftliche Fächer: $6$ , geisteswissenschaftliche Fächer: $4$

Ausgewählt werden $4 \text{ Fächer}$ mit mindestens $2 \text{ naturwissenschaftlichen}$ .

$Detaillierte Berechnung für jeden Fall$ :

$Fall 1$ : $2 \text{ naturwissenschaftliche} + 2 \text{ geisteswissenschaftliche}$

\begin{aligned} &C(6,2) \times C(4,2) \\ &= \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!} \end{aligned}

$Fall 2$ : $3 \text{ naturwissenschaftliche} + 1 \text{ geisteswissenschaftliches}$

\begin{aligned} &C(6,3) \times C(4,1) \\ &= \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!} \end{aligned}

$Fall 3$ : $4 \text{ naturwissenschaftliche} + 0 \text{ geisteswissenschaftliche}$

\begin{aligned} &C(6,4) \times C(4,0) \\ &= \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} \end{aligned}

$Gesamt$ : $90 + 80 + 15 = 185$

Unter dieser Bedingung gibt es $185 \text{ Möglichkeiten}$ , die Fächer auszuwählen.