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Wenn an einem runden Tisch jede Person einen Platz im Uhrzeigersinn weiterrückt, bleiben die Sitznachbarn gleich. Eine Kreispermutation zählt deshalb die relative Reihenfolge und nicht die Bezeichnung einzelner Plätze.
Das unterscheidet sie von einer linearen Permutation. In einer Reihe sind der erste und der letzte Platz eindeutig; im Kreis gibt es keinen ausgezeichneten Startpunkt.
Jedes Objekt kann daher als Bezugspunkt dienen. Lineare Reihenfolgen, die sich nur durch eine Drehung unterscheiden, beschreiben dieselbe Anordnung im Kreis.
Für n verschiedene Objekte gilt:
- Pn = Anzahl der Kreispermutationen von n Objekten
- n = Anzahl der anzuordnenden Objekte
- (n−1)! = Fakultät von (n−1)
Warum ist die Formel (n−1)! und nicht n!?
Eine gemeinsame Drehung aller Objekte erzeugt keine neue Anordnung. Das lässt sich an einem runden Tisch leicht erkennen.
Angenommen, 3 Kinder, A, B und C, sitzen um einen runden Tisch. Die Reihenfolgen ABC, BCA und CAB sind dieselbe Anordnung, denn sie gehen durch Drehung ineinander über und ihre relativen Positionen bleiben gleich.
- Fixiere ein Objekt als Bezugspunkt, zum Beispiel Kind A.
- Ordne alle übrigen Objekte relativ zu diesem Bezugspunkt an.
- Es bleiben n−1 Objekte zum Anordnen.
- Dafür gibt es (n−1)! Möglichkeiten.
Für 3 Kinder ergibt sich P3=(3−1)!=2!=2×1=2 Anordnungen.
Die Formel (n−1)! fasst gedrehte Anordnungen zusammen, zählt Spiegelbilder aber weiterhin getrennt. Das passt zu Personen, die zur Tischmitte schauen, denn eine gespiegelte Reihenfolge vertauscht die linken und rechten Nachbarn. Ein Armband lässt sich dagegen umdrehen. Bei n≥3 verschiedenen Perlen bildet jede Kreisreihenfolge mit einem anderen Spiegelbild ein Paar. Daher bleiben 2(n−1)! Anordnungen.
Kreispermutationen treten in unterschiedlichen Situationen auf:
Sitzordnung am runden Tisch:
Fünf Lernende sitzen für eine Diskussion an einem runden Tisch. Die Anzahl der Sitzordnungen beträgt:
Acht Kinder stellen sich für ein Spiel im Kreis auf. Die Anzahl der verschiedenen Formationen ist:
Situationen mit besonderen Bedingungen:
Bei Zusatzbedingungen, etwa wenn bestimmte Objekte nebeneinanderliegen müssen, hilft die Blockmethode:
Beispiel: 4 Ehepaare sitzen im Kreis, wobei die beiden Personen jedes Paares nebeneinandersitzen müssen.
- Fasse jedes Paar zu einem Block zusammen: 4 Blo¨cke.
- Ordne die Blöcke im Kreis an: (4−1)!=3!=6 Anordnungen.
- Vertausche die Plätze innerhalb jedes Paares: 2! Mo¨glichkeiten pro Paar.
- Multipliziere: 3!×(2!)4=6×24=6×16=96 Anordnungen.
-
Es gibt 6 Freunde, die am Lagerfeuer sitzen. Auf wie viele Arten können sie sitzen?
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Aus 8 Perlen in verschiedenen Farben wird ein Armband gefertigt. Wenn Drehungen und umgedrehte Spiegelbilder als dasselbe Armband gelten, wie viele Anordnungen sind dann möglich?
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5 Ehepaare sitzen an einem runden Tisch. Die beiden Personen jedes Paares sollen nebeneinandersitzen. Wie viele Sitzordnungen sind möglich?
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7 Lernende stellen sich im Kreis auf. Zwei bestimmte Personen dürfen nicht nebeneinanderstehen. Wie viele Anordnungen sind möglich?
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Antwort: 120Wege
Rechenweg:
- Gegeben: n=6 Personen
- Formel der Kreispermutation: Pn=(n−1)!
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P6=(6−1)!=5!=5×4×3×2×1=120
Die 6 Personen können also in 120 verschiedenen Sitzordnungen am Lagerfeuer sitzen.
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Antwort: 2520Wege
Rechenweg:
- Zunächst zählen gedrehte Anordnungen als gleich: P8=(8−1)!=7!
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Antwort: 768Wege
Rechenweg:
- Gegeben: 5 Ehepaare, also 10 Personen; jedes Paar soll zusammensitzen.
- Blockmethode: Jedes Paar bildet einen Block: 5 Blo¨cke.
-
Antwort: 480Wege
Rechenweg mit der Komplementmethode:
- Ohne Einschränkung gibt es (7−1)!=6!=6×5×4×3×2×1=720 Anordnungen.
7!=7×6×5×4×3×2×1=5040
Durch Umdrehen des Armbands wird jede Reihenfolge im Uhrzeigersinn mit ihrem Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn identisch.Da alle Perlen verschieden sind, bilden diese Anordnungen Paare. Deshalb teilen wir durch 2.
25040=2520
Es gibt 2520 verschiedene Armbänder.
Kreispermutation der 5 Blo¨cke: (5−1)!=4!=4×3×2×1=24. Innerhalb jedes Paares sind 2!=2 Anordnungen möglich. Gesamt: 24×25=24×32=768 Damit erfüllen 768 Sitzordnungen die Bedingung.
Für die unerwünschten Fälle fassen wir die 2 Lernenden zu einem Block zusammen. Damit liegen 6 Blöcke im Kreis. Sie lassen sich auf (6−1)!=5!=5×4×3×2×1=120 Arten anordnen. Die 2 Lernenden im Block können ihre Plätze tauschen. Das ergibt 2!=2 innere Anordnungen. Gesamtzahl benachbarter Anordnungen: 120×2=240 Gesuchte Anordnungen: 720−240=480 Somit gibt es 480 Anordnungen, bei denen die beiden Lernenden nicht nebeneinanderstehen.
