Stell dir vor, du wählst 3 Freunde für eine Futsalmannschaft aus. Ana, Budi und Citra bilden unabhängig von der Reihenfolge immer dasselbe Team. Entscheidend ist, ausgewählt wird.
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Das ist der entscheidende Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen. Eine Kombination beschreibt eine Auswahl aus einer größeren Menge, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Kombinationen begegnen uns zum Beispiel beim:
Auswählen von Gerichten aus einer Speisekarte
Zusammenstellen eines Teams
Wählen von Schulfächern
Kombinieren von Farben für einen Entwurf
Bei einer Permutation sind ABC und BAC verschiedene Anordnungen. Bei einer Kombination stehen beide für dieselbe Auswahl, weil sie dieselben Elemente enthalten.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus n verschiedenen verfügbaren Objekten auszuwählen, gilt:
C(n,k)=(kn)=(n−k)!×k!n!
Die Variablen in dieser Formel bedeuten:
C(n,k) oder (kn) bezeichnet die Auswahl von k Objekten aus n Objekten
n ist die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte
k ist die Anzahl der auszuwählenden Objekte
n! ist die Fakultät von n
Warum unterscheidet sich diese Formel von der Permutation?
Die Kombinationsformel entsteht, wenn die Anzahl der Permutationen durch k! geteilt wird:
C(n,k)=k!P(n,k)=(n−k)!×k!n!
Wir teilen durch k!, weil sich dieselben k Objekte in k! Reihenfolgen anordnen lassen. Eine Kombination fasst all diese Anordnungen zu einer Auswahl zusammen.
Die Auswahl von zwei der drei Personen A, B und C zeigt die Division durch 2!. Jedes Paar hat zwei Reihenfolgen, aber nur eine Mitgliedermenge.
Ohne Zusatzbedingung zählt eine Formel die Auswahlen direkt. Bei einer Mindestanforderung zerlegst du die Auswahlen in überschneidungsfreie Fälle, damit jede Auswahl genau einmal gezählt wird.
Manche Auswahlen müssen zusätzliche Bedingungen erfüllen. Aus 12 Lernenden (7 Schu¨ler und 5 Schu¨lerinnen) sollen beispielsweise 4 Lernende ausgewählt werden, darunter mindestens 2 Schu¨lerinnen.
Lösungsstrategie:
Erfasse alle Fälle, die die Bedingung erfüllen
Trenne die Fälle: 2 Schu¨lerinnen+2 Schu¨ler, 3 Schu¨lerinnen+1 Schu¨ler oder 4 Schu¨lerinnen
Bearbeite jede Aufgabe zunächst selbst. Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, und notiere danach alle gültigen Fälle ohne Überschneidungen.
Auf wie viele Arten kannst du aus 8 verschiedenen Bu¨chern3 Bu¨cher für die Ferien auswählen?
Eine Futsalmannschaft hat 12 Spieler. Auf wie viele Arten kann sie 5 Spieler für das Spielfeld auswählen?
In einer Schachtel liegen 6 rote Kugeln und 4 blaue Kugeln. Jede Kugel trägt eine andere Nummer, sodass auch gleichfarbige Kugeln unterscheidbar sind. Auf wie viele Arten lassen sich 5 Kugeln auswählen, wenn mindestens 3 rote Kugeln dabei sein müssen?
Ein Schüler wählt 4 Fa¨cher aus 10 verfu¨gbaren Fa¨chern. Davon sind 6 Fa¨cher naturwissenschaftlich und geisteswissenschaftlich. Wie viele Auswahlen enthalten mindestens ?
