Newtonscher Binomialsatz

Potenzen einer Summe ausmultiplizieren

$(x + y)^{10}$ durch wiederholtes Ausmultiplizieren zu berechnen, wäre mühsam. Der $binomische Lehrsatz$ schreibt $(x + y)^n$ direkt als Summe einfacherer Terme.

Die Koeffizienten folgen einem festen Muster. Wer dieses Muster verstanden hat, kann dieselbe Formel für jede nichtnegative ganzzahlige Potenz verwenden.

Für die ersten Potenzen sieht das Muster so aus:

(x + y)^0 = 1

Die Koeffizienten ändern sich mit der Potenz, ihre Positionen folgen jedoch immer derselben Regel.

Allgemeine Formel und Binomialkoeffizienten

Die allgemeine Formel lautet:

(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k

Dabei ist $\binom{n}{k}$ der $Binomialkoeffizient$ , der mit der Formel berechnet wird:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Der Binomialkoeffizient wird als „ $n$ über $k$ “ gelesen. Er zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Objekte aus $n$ Objekten auszuwählen.

Ausgeschrieben hat die Entwicklung die Form:

\begin{aligned} (x + y)^n &= \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y \\ &\quad{}+ \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 \\ &\quad{}+\cdots + \binom{n}{n}y^n \end{aligned}

Jeder Term der Entwicklung hat die Struktur $\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ . Die Exponenten von $x$ und $y$ ergeben zusammen stets $n$ .

Im Produkt $(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)$ wählt jeder Term einen Summanden aus jeder Klammer. Für $x^2y^2$ wählst du $zwei Klammern, die einen y-Faktor liefern$ . Sechs Klammerpaare erzeugen denselben Term. Deshalb beträgt sein Koeffizient sechs.

Anzahl der y-Auswahlen	Koeffizient	Term
$0$	$1$	$x^4$
$1$	$4$	$4x^3y$
$2$	$6$	$6x^2y^2$
$3$	$4$	$4xy^3$
$4$	$1$	$y^4$

Einen bestimmten Koeffizienten bestimmen

Mit dem binomischen Lehrsatz lässt sich der Koeffizient eines bestimmten Terms bestimmen, $ohne die gesamte Potenz auszumultiplizieren$ .

Gesucht ist der Koeffizient von $x^2$ in der Entwicklung von $(1 - x)^{2014}$ .

Da der Ausdruck durch $x$ teilt, gilt $x\ne0$ . Wir schreiben den Ausdruck mit $a = 1$ , $b = -x$ und $n = 2014$ in der Standardform:

\begin{aligned} &(1 + (-x))^{2014} \\ &= \sum_{k=0}^{2014} \binom{2014}{k} (1)^{2014-k} (-x)^k \end{aligned}

Damit der Term $x^2$ enthält, muss $k = 2$ gelten:

\begin{aligned} &\binom{2014}{2} (1)^{2012} (-x)^2 \\ &= \binom{2014}{2} \cdot 1 \cdot x^2 \\ &= \binom{2014}{2} x^2 \end{aligned}

Nun berechnen wir den Binomialkoeffizienten:

\begin{aligned} \binom{2014}{2} &= \frac{2014!}{2!(2014-2)!} \\ &= \frac{2014 \times 2013}{2 \times 1} \end{aligned}

Der gesuchte Koeffizient von $x^2$ ist also $2{.}027{.}091$ .

Den konstanten Term finden

Ein konstanter Term enthält keine Variable. Wir suchen deshalb den Term, bei dem der Exponent jeder Variablen null ist.

$Beispiel$ : Bestimme den konstanten Term von $\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$ .

Wir schreiben den Ausdruck mit $a = 3x^3$ und $b = -\frac{2}{x}$ in Binomialform:

\begin{aligned} &\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8 \\ &= \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k \end{aligned}

Der allgemeine Term lautet:

\begin{aligned} &\binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k \\ &= \binom{8}{k} \cdot (3)^{8-k} \cdot (x^3)^{8-k} \\ &\quad{}\cdot (-2)^k \cdot (x^{-1})^k \end{aligned}

Für den konstanten Term muss die Potenz von $x$ Null sein:

24 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 24 \Rightarrow k = 6

Setzen wir $k = 6$ ein:

\begin{aligned} &\binom{8}{6} \cdot 3^{8-6} \cdot (-2)^6 \cdot x^0 \\ &= \binom{8}{6} \cdot 3^2 \cdot (-2)^6 \end{aligned}

Hier gilt $(-2)^6 = 64$ : Eine negative Zahl mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert, ebenso wie $(+2)^6 = 64$ .

Der konstante Term ist somit $16{.}128$ .

Problemlösungsstrategie

Bei Aufgaben zum binomischen Lehrsatz helfen vier klare Schritte:

$Bestimme die Bestandteile$ der Form $(a + b)^n$ und lies $a$ , $b$ und $n$ sorgfältig ab.
$Kläre, was gesucht ist$ : ein bestimmter Koeffizient, ein konstanter Term oder ein Term mit vorgegebenem Exponenten.
$Setze die allgemeine Termformel ein$ : $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ . Bestimme anschließend den passenden Index aus der gesuchten Potenz.
$Rechne sorgfältig$ und prüfe dabei Vorzeichen, Potenzen und den Binomialkoeffizienten.

$Beispiel zur Strategie$ :

Bestimme den Koeffizienten von $x^5$ in der Entwicklung von $(2x + 3)^8$ .

$Schritt 1$ : Bestandteile bestimmen

Aus $(2x + 3)^8$ erhalten wir:

$a = 2x$
$b = 3$
$n = 8$

$Schritt 2$ : Gesuchten Term bestimmen

Gesucht ist der Koeffizient des Terms mit $x^5$ .

$Schritt 3$ : Allgemeine Termformel verwenden

Allgemeiner Term: $\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$

Ausmultipliziert ergibt der allgemeine Term:

\begin{aligned} &\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k \\ &= \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k \\ &= \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k} \end{aligned}

Für $x^5$ muss $8-k = 5$ gelten. Daher ist $k = 3$ .

$Schritt 4$ : Koeffizienten berechnen

Wir setzen $k = 3$ ein:

\begin{aligned} &\binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 \\ &= \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5 \end{aligned}

Der Koeffizient von $x^5$ ist $48{.}384$ .

In der Entwicklung von $(a+b)^n$ ergeben die Exponenten der Faktoren $a$ und $b$ zusammen $n$ . Ersetzt du diese Faktoren durch Ausdrücke in $x$ , musst du den Exponenten von $x$ neu berechnen. Eine weitere Kontrolle nutzt die $Symmetrie der Binomialkoeffizienten$ : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Übungen

Jede Aufgabe verlangt einen einzelnen Term einer Entwicklung. Nutze die Formel für das $allgemeine Glied$ und triff den Exponenten, den die Aufgabe nennt.

Bestimme den Koeffizienten von $x^4$ in der Entwicklung von $(2x - 3)^7$ .
Berechne den konstanten Term von $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$ .
Bestimme in der Entwicklung von $(1 + 2x)^{10}$ den Term, der $x^3$ enthält.

Lösungen

$Lösung$ :

Schreibe den Ausdruck mit $a = 2x$ , $b = -3$ und $n = 7$ in Binomialform.

Allgemeiner Term: $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$

Für den Koeffizienten von $x^4$ muss $7-k = 4$ gelten. Somit ist $k = 3$ .
$\begin{aligned} &\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 \\ &= \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3 \end{aligned}$
Der Koeffizient von $x^4$ ist $-15{.}120$ .
$Lösung$ :

Schreibe den Ausdruck mit $a = x^2$ , $b = \frac{1}{x}$ und $n = 9$ in Binomialform.

Der allgemeine Term lautet:
$\begin{aligned} &\binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k \\ &=\binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k} \end{aligned}$
Für den konstanten Term muss die Potenz von $x$ Null sein: $18-3k = 0$ , also $k = 6$ .

$\begin{aligned} \binom{9}{6} &= \binom{9}{3} \\ &= \frac{9!}{3! \cdot 6!} \\ &= \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \\ &= 84 \end{aligned}$

Der konstante Term ist $84$ .
$Lösung$ :

Schreibe den Ausdruck mit $a = 1$ , $b = 2x$ und $n = 10$ in Binomialform.

Allgemeiner Term: $\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$

Für den Term mit $x^3$ gilt $k = 3$ .
$\begin{aligned} \binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 &= 120 \cdot 8 \cdot x^3 \\ &= 960x^3 \end{aligned}$
Der gesuchte Term mit $x^3$ ist $960x^3$ .