Newtonscher Binomialsatz

Was besagt der binomische Lehrsatz?

$(x + y)^{10}$ durch wiederholtes Ausmultiplizieren zu berechnen, wäre mühsam. Der schreibt direkt als Summe einfacherer Terme.

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Newtonscher Binomialsatz

Was besagt der binomische Lehrsatz?

$(x + y)^{10}$ durch wiederholtes Ausmultiplizieren zu berechnen, wäre mühsam. Der schreibt direkt als Summe einfacherer Terme.

binomische Lehrsatz

(x + y)^n

Die Koeffizienten folgen einem festen Muster. Wer dieses Muster verstanden hat, kann dieselbe Formel für jede nichtnegative ganzzahlige Potenz verwenden.

Für die ersten Potenzen sieht das Muster so aus:

(x + y)^0 = 1

Die Koeffizienten ändern sich mit der Potenz, ihre Positionen folgen jedoch immer derselben Regel.

Allgemeine Formel und Binomialkoeffizienten

Die allgemeine Formel lautet:

(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k

Dabei ist $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient, der mit der Formel berechnet wird:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Der Binomialkoeffizient wird als „ $n$ über $k$ “ gelesen. Er zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Objekte aus $n$ Objekten auszuwählen.

Ausgeschrieben hat die Entwicklung die Form:

(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n}y^n

Jeder Term der Entwicklung hat die Struktur $\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$ . Die Exponenten von $x$ und $y$ ergeben zusammen stets $n$ .

Einen bestimmten Koeffizienten bestimmen

Mit dem binomischen Lehrsatz lässt sich der Koeffizient eines bestimmten Terms bestimmen, ohne die gesamte Potenz auszumultiplizieren.

Gesucht ist der Koeffizient von $x^2$ in der Entwicklung von $(1 - x)^{2014}$ .

Zuerst schreiben wir den Ausdruck mit $a = 1$ , $b = -x$ und $n = 2014$ in der Standardform:

(1 + (-x))^{2014} = \sum_{k=0}^{2014} \binom{2014}{k} (1)^{2014-k} (-x)^k

Damit der Term $x^2$ enthält, muss $k = 2$ gelten:

\binom{2014}{2} (1)^{2012} (-x)^2 = \binom{2014}{2} \cdot 1 \cdot x^2 = \binom{2014}{2} x^2

Nun berechnen wir den Binomialkoeffizienten:

\binom{2014}{2} = \frac{2014!}{2!(2014-2)!} = \frac{2014 \times 2013}{2 \times 1}

Der gesuchte Koeffizient von $x^2$ ist also $2{.}027{.}091$ .

Den konstanten Term finden

Ein konstanter Term enthält keine Variable. Wir suchen deshalb den Term, bei dem der Exponent jeder Variablen null ist.

Beispiel: Bestimme den konstanten Term von $\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$ .

Wir schreiben den Ausdruck mit $a = 3x^3$ und $b = -\frac{2}{x}$ in Binomialform:

\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k

Der allgemeine Term lautet:

\binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k = \binom{8}{k} \cdot (3)^{8-k} \cdot (x^3)^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot (x^{-1})^k

Für den konstanten Term muss die Potenz von $x$ Null sein:

24 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 24 \Rightarrow k = 6

Setzen wir $k = 6$ ein:

\binom{8}{6} \cdot 3^{8-6} \cdot (-2)^6 \cdot x^0 = \binom{8}{6} \cdot 3^2 \cdot (-2)^6

Hier gilt $(-2)^6 = 64$ : Eine negative Zahl mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert, ebenso wie $(+2)^6 = 64$ .

Der konstante Term ist somit $16{.}128$ .

Problemlösungsstrategie

Bei Aufgaben zum binomischen Lehrsatz helfen vier klare Schritte:

Bestimme die Bestandteile der Form $(a + b)^n$ und lies $a$ , $b$ und $n$ sorgfältig ab.
Kläre, was gesucht ist: ein bestimmter Koeffizient, ein konstanter Term oder ein Term mit vorgegebenem Exponenten.
Setze die allgemeine Termformel ein: $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ . Bestimme anschließend den passenden Index aus der gesuchten Potenz.
Rechne sorgfältig und prüfe dabei Vorzeichen, Potenzen und den Binomialkoeffizienten.

Beispiel zur Strategie:

Bestimme den Koeffizienten von $x^5$ in der Entwicklung von $(2x + 3)^8$ .

Bestandteile bestimmen

Aus $(2x + 3)^8$ erhalten wir:
- $a = 2x$
- $b = 3$
- $n = 8$
Gesuchten Term bestimmen

Gesucht ist der Koeffizient des Terms mit $x^5$ .
Allgemeine Termformel verwenden

Allgemeiner Term: $\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$
Koeffizienten berechnen

Wir setzen $k = 3$ ein:
$\binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 = \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5$

Zwei Kontrollen helfen, Rechenfehler zu finden: Jeder Term der Entwicklung hat den Gesamtgrad $n$ , und die Binomialkoeffizienten sind symmetrisch: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Übungen

Bestimme den Koeffizienten von $x^4$ in der Entwicklung von $(2x - 3)^7$ .
Berechne den konstanten Term von $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$ .
Bestimme in der Entwicklung von $(1 + 2x)^{10}$ den Term, der $x^3$ enthält.

Lösungen

Lösung:

Schreibe den Ausdruck mit $a = 2x$ , $b = -3$ und $n = 7$ in Binomialform.

Allgemeiner Term: $\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$

Für den Koeffizienten von $x^4$ muss $7-k = 4$ gelten. Somit ist $k = 3$ .
$\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 = \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3$
Der Koeffizient von $x^4$ ist $-15{.}120$ .
Lösung:

Schreibe den Ausdruck mit $a = x^2$ , $b = \frac{1}{x}$ und in Binomialform.
Lösung:

Schreibe den Ausdruck mit $a = 1$ , $b = 2x$ und $n = 10$ in Binomialform.

Allgemeiner Term: $\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$

Ausmultipliziert ergibt der allgemeine Term:

\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k}

Für $x^5$ muss $8-k = 5$ gelten. Daher ist $k = 3$ .

= \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= 56 \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5

= 1{.}792 \cdot 27 \cdot x^5 = 48{.}384x^5

Der Koeffizient von $x^5$ ist $48{.}384$ .

= \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 16 \cdot (-27)

= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \cdot 16 \cdot (-27)

= 35 \cdot 16 \cdot (-27) = 560 \cdot (-27) = -15{.}120

n = 9

\text{Allgemeiner Term: } \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k}

Für den konstanten Term muss die Potenz von $x$ Null sein: $18-3k = 0$ , also $k = 6$ .

\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Der konstante Term ist $84$ .

Für den Term mit $x^3$ gilt $k = 3$ .

\binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 = 120 \cdot 8 \cdot x^3 = 960x^3

Der gesuchte Term mit $x^3$ ist $960x^3$ .