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Eine Permutation mit identischen Objekten zählt Anordnungen, bei denen sich einige Objekte nicht voneinander unterscheiden lassen. Ihre Anzahl ist kleiner als bei einer gewöhnlichen Permutation, denn der Austausch identischer Objekte erzeugt keine neue Anordnung.
Das Wort „MAMA“ zeigt den Grund. Es besteht aus Buchstaben, aber die beiden sind ebenso wenig unterscheidbar wie die beiden . Würden wir die Kopien vorübergehend beschriften, zählte ein Tausch der Beschriftungen als neue Permutation, obwohl das sichtbare Wort unverändert bliebe.
Sind Objekte in Gruppen identischer Objekte aufgeteilt, ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Anordnungen aus:
Erklärung:
So bestimmen wir die Gruppen: Wir zählen, wie oft jedes unterschiedliche Objekt vorkommt. Die Division durch entfernt dann die mehrfach gezählten Beschriftungen innerhalb der jeweiligen Gruppe.
Am Wort „KALIMANTAN“ lässt sich der Rechenweg vollständig verfolgen.
Buchstaben erfassen: Zuerst schreiben wir alle Buchstaben auf: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N
Gesamtzahl der Buchstaben:
Häufigkeiten: kommt vor, kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor, kommt vor, kommt vor (Positionen ) und kommt vor.
Berechnung:
Zuerst kürzen wir die gemeinsamen Faktoren:
Nun rechnen wir schrittweise:
Das Wort „PALAPA“ hat Buchstaben: Wir schreiben sie der Reihe nach auf: P-A-L-A-P-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ) und kommt vor.
Die benötigten Fakultäten sind:
Die Berechnung lautet also:
Wir vereinfachen, indem wir durch teilen:
Für Aufgaben mit identischen Objekten hilft dieses feste Vorgehen:
Nun wenden wir die Schritte auf das Wort „BANANA“ an:
Gesamtzahl der Objekte
Wir schreiben die Buchstaben der Reihe nach auf: B-A-N-A-N-A
Gesamtzahl der Buchstaben:
Identische Objekte gruppieren
Gleiche Buchstaben gehören in dieselbe Gruppe:
Häufigkeiten zählen
Nun zählen wir jede Gruppe:
Formel anwenden
Wir setzen die Häufigkeiten in die Formel ein:
Fakultät berechnen
Zuerst vereinfachen wir den Bruch:
Das Wort „BANANA“ besitzt also verschiedene Anordnungen.
Gewöhnliche Permutation: Alle Objekte sind verschieden; die Formel lautet .
Permutation mit identischen Objekten: Gleiche Objekte erzeugen keine neue sichtbare Anordnung; die Formel lautet:
Vergleichsbeispiel:
Die verschiedenen Buchstaben A, B, C, D lassen sich auf anordnen.
Bei den Buchstaben sind zwei Objekte identisch:
Identische Objekte verringern die Anzahl, weil ihr Austausch keine neue sichtbare Anordnung erzeugt.
Wie viele Buchstabenanordnungen können aus dem Wort „MATEMATIKA“ gebildet werden?
Ein Blumenladen ordnet Rosen in einer Reihe. Nur die Farbe zählt: sind rot, sind weiß und sind gelb. Wie viele Farbanordnungen sind möglich?
Wie viele Zahlen lassen sich aus den Ziffern als -stellige Zahlen bilden?
Wie viele verschiedene Buchstabenanordnungen hat das Wort „INDONESIA“?
Das Wort „MATEMATIKA“ hat Buchstaben
Buchstaben nacheinander: M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
Es gibt Farbpositionen: Rot kommt -mal vor, Weiß -mal und Gelb -mal.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Ziffern (insgesamt Ziffern)
Häufigkeiten: Die Ziffer kommt vor, die Ziffer kommt vor und die Ziffer kommt vor.
Das Wort „INDONESIA“ hat Buchstaben
Buchstaben nacheinander: I-N-D-O-N-E-S-I-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor, kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Nach dem Kürzen rechnen wir aus:
Danach rechnen wir weiter:
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
