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Das Wort „MAMA“ zeigt den Grund. Es besteht aus Buchstaben, aber die beiden sind ebenso wenig unterscheidbar wie die beiden . Würden wir die Kopien vorübergehend beschriften, zählte ein Tausch der Beschriftungen als neue Permutation, obwohl das sichtbare Wort unverändert bliebe.
Alle Ergebnisse lassen sich ohne vorübergehende Beschriftungen auflisten. Wähle zwei Positionen für M und fülle die beiden übrigen Positionen mit A.
| Positionen von M | Sichtbare Anordnung |
|---|---|
| 1, 2 | MMAA |
| 1, 3 | MAMA |
| 1, 4 | MAAM |
| 2, 3 | AMMA |
| 2, 4 | AMAM |
| 3, 4 | AAMM |
Es gibt sechs Ergebnisse. Sind alle Kopien beschriftet, wird jedes sichtbare Ergebnis -mal gezählt. Daher gilt .
Sind Objekte in Gruppen identischer Objekte aufgeteilt, ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Anordnungen aus:
Die Symbole in der Formel bedeuten:
Wir zählen, wie oft jedes unterschiedliche Objekt vorkommt. Die Division durch entfernt die Mehrfachzählungen, die durch den Tausch identischer Kopien innerhalb einer Gruppe entstehen.
Dieselbe Division funktioniert bei Wörtern, weil ein wiederholter Buchstabe identische Kopien erzeugt. Das Beispiel unten zählt die Buchstaben von KALIMANTAN und teilt durch die wiederholten Gruppen.
Am Wort „KALIMANTAN“ lässt sich der Rechenweg vollständig verfolgen.
Wir schreiben die Buchstaben der Reihe nach auf: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N
Gesamtzahl der Buchstaben:
Die wiederholten Buchstaben sind mit Vorkommen und mit Vorkommen. Alle übrigen Buchstaben kommen jeweils einmal vor.
Berechnung:
Zuerst kürzen wir die gemeinsamen Faktoren:
Nun rechnen wir schrittweise:
Das Wort „PALAPA“ hat Buchstaben: Wir schreiben sie der Reihe nach auf: P-A-L-A-P-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ) und kommt vor.
Die benötigten Fakultäten sind:
Die Berechnung lautet also:
Wir vereinfachen, indem wir durch teilen:
Für jede Anordnung mit wiederholten Objekten gelten dieselben Schritte:
Wir wenden die Schritte auf das Wort „BANANA“ an:
Schritt 1: Gesamtzahl der Objekte
Wir schreiben die Buchstaben der Reihe nach auf: B-A-N-A-N-A
Gesamtzahl der Buchstaben:
Buchstabengruppen und Häufigkeiten lassen sich gemeinsam ablesen. Die drei Zeilen erfassen alle Buchstaben.
| Buchstabe | Gruppenmitglieder | Häufigkeit |
|---|---|---|
| B | B | 1 |
| A | A, A, A | 3 |
| N | N, N | 2 |
Schritt 2: Formel anwenden
Wir setzen die Häufigkeiten in die Formel ein:
Schritt 3: Fakultät berechnen
Zuerst vereinfachen wir den Bruch:
Nach dem Kürzen rechnen wir aus:
Das Wort „BANANA“ besitzt also verschiedene Anordnungen.
Gewöhnliche Permutation: Alle Objekte sind verschieden. Die Formel lautet .
Permutation mit identischen Objekten: Gleiche Objekte erzeugen keine neue sichtbare Anordnung. Die Formel lautet:
Vergleichsbeispiel:
Die verschiedenen Buchstaben A, B, C, D lassen sich auf anordnen.
Bei den Buchstaben sind zwei Objekte identisch:
Identische Objekte verringern die Anzahl, weil ihr Austausch keine neue sichtbare Anordnung erzeugt.
Jede Aufgabe ordnet eine Multimenge an, sodass wiederholte Buchstaben, Farben oder Ziffern herausgeteilt werden müssen. Zähle zuerst alle Anordnungen und teile dann durch die Fakultäten der wiederholten Gruppen.
Wie viele Buchstabenanordnungen können aus dem Wort „MATEMATIKA“ gebildet werden?
Ein Blumenladen ordnet Rosen in einer Reihe. Nur die Farbe zählt: sind rot, sind weiß und sind gelb. Wie viele Farbanordnungen sind möglich?
Wie viele Zahlen lassen sich aus den Ziffern als -stellige Zahlen bilden?
Wie viele verschiedene Buchstabenanordnungen hat das Wort „INDONESIA“?
Aufgabe 1
Das Wort „MATEMATIKA“ hat Buchstaben
Buchstaben nacheinander: M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
Aufgabe 2
Es gibt Farbpositionen: Rot kommt -mal vor, Weiß -mal und Gelb -mal.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir weiter:
Aufgabe 3
Ziffern (insgesamt Ziffern)
Häufigkeiten: Die Ziffer kommt vor, die Ziffer kommt vor und die Ziffer kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
Aufgabe 4
Das Wort „INDONESIA“ hat Buchstaben
Buchstaben nacheinander: I-N-D-O-N-E-S-I-A
Häufigkeiten: kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor, kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
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