Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Unsicherheit mit Werten zwischen null und eins beschreiben

Wird es heute regnen? Gewinnt eine Mannschaft ihr nächstes Spiel? Beides ist ungewiss. Mit einer $Wahrscheinlichkeit$ können wir diese Unsicherheit trotzdem genau beschreiben.

In einem $endlichen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen$ bedeuten die Wahrscheinlichkeitswerte:

Wahrscheinlichkeit $0$ bedeutet, dass das Ereignis $unmöglich$ ist
Wahrscheinlichkeit $1$ bedeutet, dass das Ereignis $sicher$ ist
Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ bedeutet, dass das Ereignis und sein Komplement $gleich wahrscheinlich$ sind

Eine Wahrscheinlichkeit sagt kein einzelnes Ergebnis sicher voraus. Sie beschreibt, wie häufig ein Ergebnis bei vielen Wiederholungen zu erwarten ist, und gibt an, wie sicher oder unsicher eine Entscheidung ist.

Ergebnisraum und Ereignis

Bevor wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen, brauchen wir zwei Begriffe:

Der $Ergebnisraum (S)$ ist $die Menge aller möglichen Ergebnisse$ eines Zufallsexperiments. Werden zum Beispiel zwei Würfel geworfen, ist jedes Ergebnis ein geordnetes Paar von Augenzahlen.

Ein Ereignis (A) ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es enthält genau die Ergebnisse, die wir untersuchen möchten.

$Konkretes Beispiel$ : Bei zwei Münzwürfen verwenden wir die üblichen Kürzel $H$ für Kopf und $T$ für Zahl. Der Ergebnisraum ist $\{HH, HT, TH, TT\}$ . Das Ereignis „mindestens einmal Zahl“ lautet $A = \{HT, TH, TT\}$ .

Wahrscheinlichkeitsformel

Für ein Ereignis mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwenden wir die $klassische Wahrscheinlichkeitsformel$ :

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

$P(A)$ = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$
$n(A)$ = Anzahl der günstigen Ergebnisse im Ereignis $A$
$n(S)$ = Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum

$Bedingung$ : Diese Zählformel gilt nur, wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum $gleich wahrscheinlich$ sind.

$Grundlegende Eigenschaften$ :

$0 \leq P(A) \leq 1$ (jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$ )
$P(A) + P(A') = 1$ , wobei $A'$ das $Gegenereignis$ zu $A$ bezeichnet

$Gegenereignis$ : Das Gegenereignis zu $A$ enthält jedes Ergebnis des Ergebnisraums, das $nicht$ zu $A$ gehört. Bedeutet $A$ etwa „eine gerade Zahl würfeln“, so steht $A'$ für „eine ungerade Zahl würfeln“.

Wahrscheinlichkeit für die Summe Neun bei zwei Würfeln

$Zwei Würfel untersuchen$ :

Zwei unabhängig geworfene faire Würfel liefern $6 \times 6 = 36$ gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $9$ .

Liste die $geordneten Paare$ mit Summe neun auf. Werden die Augenzahlen des ersten und zweiten Würfels vertauscht, entsteht ein anderes Versuchsergebnis.

Erster Würfel	Zweiter Würfel	Summe
3	6	9
4	5	9
5	4	9
6	3	9

Vier Paare erfüllen die Bedingung, also gilt $n(A)=4$ .

P(\text{Summe}=9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0{,}111

Die Anzahl der Gewinncoupons schätzen

Angenommen, ein Getränkeunternehmen legt manchen Getränkekartons Gewinncoupons bei. In diesem Werbemodell beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn in einem gekauften Karton $\frac{3}{32}$ .

Bei vielen Käufen wird ein Anteil von ungefähr $3/32$ Gewinnkartons erwartet. Bei $320$ Käufen beträgt die erwartete Couponanzahl

320\times\frac{3}{32}=10\times3=30

Dieser Erwartungswert hilft beim Schätzen der Gewinnkosten. Er ist $keine garantierte Couponanzahl$ für eine einzelne Gruppe von Käufen.

Würfelsummen vergleichen

Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe $7$ $mehr günstige geordnete Paare$ als jede andere Summe:

Es gibt $6$ Möglichkeiten für die Summe $7$ : $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ .

P(\text{Summe} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167

Das ist die größte Wahrscheinlichkeit unter allen möglichen Summen. Trotzdem muss der nächste Wurf nicht $7$ ergeben. Die Rechnung beschreibt, wie sich die Ergebnisse über viele Würfe verteilen. Sie legt den nächsten einzelnen Wurf nicht fest.

Übungsaufgaben

Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Notiere zuerst den $Ergebnisraum und das Ereignis$ . Setze erst danach Zahlen in die Formel ein.

Bestimme beim unabhängigen Werfen zweier fairer Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe.
Eine Schachtel enthält $5 \text{ rote Kugeln}$ , $3 \text{ blaue Kugeln}$ und $2 \text{ grüne Kugeln}$ . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist.
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten.
Eine Qualitätskontrolle findet genau $50$ fehlerhafte Produkte in einer Charge von $1000 \text{ Einheiten}$ . Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt?

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

\frac{1}{2}

$Schrittweise Lösung$ :

Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat $n(S) = 36$ Ergebnisse.

$Identifiziere alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten$ :

Summe $2$ : $(1,1)$ → $1$ Weg
Summe $4$ : $(1,3), (2,2), (3,1)$ → $3 \text{ Wege}$
Summe $6$ : $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ → $5 \text{ Wege}$
Summe $8$ : $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ → $5 \text{ Wege}$
Summe $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ → $3 \text{ Wege}$
Summe $12$ : $(6,6)$ → $1$ Weg

$Günstige Ergebnisse insgesamt$ : $n(A) = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{gerade Summe}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5

$Aufgabe 2$

\frac{1}{2}

$Lösungsschritte$ :

$Gesamtzahl der Kugeln$ : $5 + 3 + 2 = 10$ Kugeln

$Nicht rote Kugeln$ : $3 \text{ blau} + 2 \text{ grün} = 5$ Kugeln

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{nicht rot}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5

$Aufgabe 3$

\frac{3}{8}

$Lösungsschritte$ :

$Ergebnisraum für drei Münzwürfe$ :

\left\{\begin{gathered} HHH, HHT, HTH, \\ HTT, THH, THT, \\ TTH, TTT \end{gathered}\right\}

$Gesamtmöglichkeiten$ : $n(S) = 2^3 = 8$

$Ereignis „genau zweimal Zahl“$ : $\{HTT, THT, TTH\}$

$Anzahl der günstigen Ergebnisse$ : $n(A) = 3$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \frac{3}{8} = 0{,}375

$Aufgabe 4$

$\frac{19}{20}$ oder $95\%$

$Lösungsschritte$ :

$Gesamtmenge$ : $1000 \text{ Einheiten}$

$Fehlerhafte Produkte$ : $50 \text{ Einheiten}$

$Fehlerfreie Produkte$ : $1000 - 50 = 950 \text{ Einheiten}$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{nicht defekt}) = \frac{950}{1000} = \frac{19}{20} = 0{,}95 = 95\%

$Interpretation$ : Bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl aus dieser Charge beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt $95\%$ . Diese Aussage gilt für das Zufallsmodell und für die gesamte Charge, während ein einzelnes Produkt davon abweichen kann.

Unsicherheit mit Werten zwischen null und eins beschreiben

Wird es heute regnen? Gewinnt eine Mannschaft ihr nächstes Spiel? Beides ist ungewiss. Mit einer $Wahrscheinlichkeit$ können wir diese Unsicherheit trotzdem genau beschreiben.

In einem $endlichen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen$ bedeuten die Wahrscheinlichkeitswerte:

Wahrscheinlichkeit $0$ bedeutet, dass das Ereignis $unmöglich$ ist
Wahrscheinlichkeit $1$ bedeutet, dass das Ereignis $sicher$ ist
Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ bedeutet, dass das Ereignis und sein Komplement $gleich wahrscheinlich$ sind

Ergebnisraum und Ereignis

Bevor wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen, brauchen wir zwei Begriffe:

Der $Ergebnisraum (S)$ ist $die Menge aller möglichen Ergebnisse$ eines Zufallsexperiments. Werden zum Beispiel zwei Würfel geworfen, ist jedes Ergebnis ein geordnetes Paar von Augenzahlen.

Ein Ereignis (A) ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es enthält genau die Ergebnisse, die wir untersuchen möchten.

Wahrscheinlichkeitsformel

Für ein Ereignis mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwenden wir die $klassische Wahrscheinlichkeitsformel$ :

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

$P(A)$ = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$
$n(A)$ = Anzahl der günstigen Ergebnisse im Ereignis $A$
$n(S)$ = Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum

$Bedingung$ : Diese Zählformel gilt nur, wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum $gleich wahrscheinlich$ sind.

$Grundlegende Eigenschaften$ :

$0 \leq P(A) \leq 1$ (jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$ )
$P(A) + P(A') = 1$ , wobei $A'$ das $Gegenereignis$ zu $A$ bezeichnet

Wahrscheinlichkeit für die Summe Neun bei zwei Würfeln

$Zwei Würfel untersuchen$ :

Zwei unabhängig geworfene faire Würfel liefern $6 \times 6 = 36$ gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $9$ .

Liste die $geordneten Paare$ mit Summe neun auf. Werden die Augenzahlen des ersten und zweiten Würfels vertauscht, entsteht ein anderes Versuchsergebnis.

Erster Würfel	Zweiter Würfel	Summe
3	6	9
4	5	9
5	4	9
6	3	9

Vier Paare erfüllen die Bedingung, also gilt $n(A)=4$ .

P(\text{Summe}=9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0{,}111

Die Anzahl der Gewinncoupons schätzen

Bei vielen Käufen wird ein Anteil von ungefähr $3/32$ Gewinnkartons erwartet. Bei $320$ Käufen beträgt die erwartete Couponanzahl

320\times\frac{3}{32}=10\times3=30

Dieser Erwartungswert hilft beim Schätzen der Gewinnkosten. Er ist $keine garantierte Couponanzahl$ für eine einzelne Gruppe von Käufen.

Würfelsummen vergleichen

Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe $7$ $mehr günstige geordnete Paare$ als jede andere Summe:

Es gibt $6$ Möglichkeiten für die Summe $7$ : $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ .

P(\text{Summe} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167

Übungsaufgaben

Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Notiere zuerst den $Ergebnisraum und das Ereignis$ . Setze erst danach Zahlen in die Formel ein.

Bestimme beim unabhängigen Werfen zweier fairer Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe.
Eine Schachtel enthält $5 \text{ rote Kugeln}$ , $3 \text{ blaue Kugeln}$ und $2 \text{ grüne Kugeln}$ . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist.
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten.
Eine Qualitätskontrolle findet genau $50$ fehlerhafte Produkte in einer Charge von $1000 \text{ Einheiten}$ . Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt?

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

\frac{1}{2}

$Schrittweise Lösung$ :

Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat $n(S) = 36$ Ergebnisse.

$Identifiziere alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten$ :

Summe $2$ : $(1,1)$ → $1$ Weg
Summe $4$ : $(1,3), (2,2), (3,1)$ → $3 \text{ Wege}$
Summe $6$ : $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ → $5 \text{ Wege}$
Summe $8$ : $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ → $5 \text{ Wege}$
Summe $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ → $3 \text{ Wege}$
Summe $12$ : $(6,6)$ → $1$ Weg

$Günstige Ergebnisse insgesamt$ : $n(A) = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{gerade Summe}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5

$Aufgabe 2$

\frac{1}{2}

$Lösungsschritte$ :

$Gesamtzahl der Kugeln$ : $5 + 3 + 2 = 10$ Kugeln

$Nicht rote Kugeln$ : $3 \text{ blau} + 2 \text{ grün} = 5$ Kugeln

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{nicht rot}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5

$Aufgabe 3$

\frac{3}{8}

$Lösungsschritte$ :

$Ergebnisraum für drei Münzwürfe$ :

\left\{\begin{gathered} HHH, HHT, HTH, \\ HTT, THH, THT, \\ TTH, TTT \end{gathered}\right\}

$Gesamtmöglichkeiten$ : $n(S) = 2^3 = 8$

$Ereignis „genau zweimal Zahl“$ : $\{HTT, THT, TTH\}$

$Anzahl der günstigen Ergebnisse$ : $n(A) = 3$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \frac{3}{8} = 0{,}375

$Aufgabe 4$

$\frac{19}{20}$ oder $95\%$

$Lösungsschritte$ :

$Gesamtmenge$ : $1000 \text{ Einheiten}$

$Fehlerhafte Produkte$ : $50 \text{ Einheiten}$

$Fehlerfreie Produkte$ : $1000 - 50 = 950 \text{ Einheiten}$

$Wahrscheinlichkeitsberechnung$ :

P(\text{nicht defekt}) = \frac{950}{1000} = \frac{19}{20} = 0{,}95 = 95\%