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Manche Ereignisse können nicht im selben Versuch gemeinsam eintreten. Bei einem einzelnen Münzwurf erscheint zum Beispiel entweder Kopf oder Zahl, niemals beides zugleich. Solche Ereignisse heißen disjunkt oder sich gegenseitig ausschließend.
Disjunkte Ereignisse können innerhalb desselben Zufallsversuchs nicht gemeinsam eintreten. Tritt eines ein, ist das andere in diesem Versuch ausgeschlossen.
Ziehst du eine Karte aus einem üblichen Kartenspiel, kann sie nicht zugleich rot und schwarz sein. Die beiden Farbereignisse sind disjunkt, weil keine Karte beide Bedingungen erfüllt.
Disjunkte Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse. Sind und disjunkt, dann gilt:
Das Symbol weist auf eine leere Menge hin, was bedeutet, dass es keine gemeinsamen Elemente zwischen den beiden Ereignissen gibt.
Diese Ereignispaare schließen sich jeweils aus:
Frage: „Kann ein einziges Ergebnis beide Bedingungen erfüllen?“ Lautet die Antwort nein, sind die Ereignisse disjunkt.
Da disjunkte Ereignisse keine Schnittmenge haben, vereinfacht sich die Additionsregel zu:
Die Wahrscheinlichkeit für oder ist dann die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
Disjunkt bedeutet nicht unabhängig. Gelten und , macht die Information, dass eingetreten ist, unmöglich. Daher ist . Unabhängigkeit würde dagegen verlangen.
Für disjunkte Ereignisse gilt . Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab:
Setzen wir die leere Schnittmenge ein, erhalten wir:
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine Zahl größer als .
Lösung:
Ergebnisraum:
Schnittmenge prüfen:
Die Zahl liegt in beiden Ereignissen. Sie sind also nicht disjunkt. Die ursprüngliche Frage lässt sich dennoch beantworten, allerdings muss die Überschneidung abgezogen werden:
Das nächste Beispiel zeigt, wann die kürzere Additionsregel für disjunkte Ereignisse gilt.
Disjunktes Vergleichsbeispiel:
Schnittmenge prüfen:
Da die Schnittmenge leer ist, sind die Ereignisse disjunkt.
Dieses Ergebnis ist sinnvoll, da beim Würfeln auf jeden Fall entweder eine ungerade oder eine gerade Zahl erscheint (alle Möglichkeiten sind abgedeckt).
Zwei Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe oder die Summe .
Lösung:
Zum besseren Verständnis schauen wir uns in der folgenden Tabelle alle möglichen Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfeln an:
| Würfel \ Würfel | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
Es gibt insgesamt geordnete Paare.
Ereignisidentifikation:
Ereignis ():
Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben:
Es gibt also , um die Summe zu erhalten.
Ereignis ():
Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben:
Es gibt also , um die Summe zu erhalten.
Schnittmenge prüfen: Eine Würfelsumme kann nicht zugleich und sein, also .
Beide Ereignisse sind disjunkt.
Brüche addieren:
Um zu addieren, benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
, also:
Bei Aufgaben zu disjunkten Ereignissen gehst du so vor:
Hilfreiche Kontrollen:
Manche Ereignisse wirken auf den ersten Blick disjunkt, sind es aber tatsächlich nicht:
Beispiel : Würfeln
Häufiger Fehler: „Primzahl und ungerade Zahl sind verschiedene Begriffe, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: , also nicht disjunkt
Beispiel : Kartenziehen
Häufiger Fehler: „Farbe und Kartenwert sind verschiedene Merkmale, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: Herz-Ass und Karo-Ass sind rot und zugleich Asse, also sind die Ereignisse nicht disjunkt.
Beispiel : Zwei Schülerkriterien
Häufiger Fehler: „Größe und Testergebnis sind unterschiedliche Merkmale, daher schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus.“ Tatsächlich: Eine Person kann beide Kriterien erfüllen, also sind die Ereignisse nicht disjunkt.
Prüfstrategie:
Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Schreibe beide Mengen auf und prüfe ihre Schnittmenge, bevor du die Additionsregel auswählst.
Ein Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als oder größer als .
Aus einem üblichen Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder einen König.
Zwei Münzen werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau -mal Zahl oder genau -mal Kopf.
In einer Schachtel liegen mit den Nummern bis . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder eine ungerade Primzahl.
Lösung:
Ergebnisraum: , also
Schnittmenge prüfen: (keine Zahl erfüllt gleichzeitig und )
Da die Ereignisse disjunkt sind, verwenden wir die Additionsregel:
Lösung:
Die Gesamtzahl der Karten beträgt
Lösung:
Verwende für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist und enthält Ergebnisse.
Lösung:
Eine ungerade Primzahl ist eine Primzahl, die auch ungerade ist. Primzahlen aus sind , ungerade Primzahlen sind also .
Ergebnisraum: , also
Schnittmenge prüfen: Keine Karte ist zugleich Ass und König, also
Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.
Schnittmenge prüfen: (genau einmal Zahl und genau zweimal Kopf können nicht zugleich eintreten)
Schnittmenge prüfen: (keine Zahl ist zugleich gerade und eine ungerade Primzahl)
Brüche addieren:
Um zu addieren, müssen wir die Nenner ausgleichen.
, also:
