Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse

Ereignisse ohne gemeinsame Ergebnisse

Manche Ereignisse können nicht im selben Versuch gemeinsam eintreten. Bei einem einzelnen Münzwurf erscheint zum Beispiel entweder Kopf oder Zahl, niemals beides zugleich. Solche Ereignisse heißen disjunkt oder sich gegenseitig ausschließend.

Disjunkte Ereignisse können innerhalb desselben Zufallsversuchs nicht gemeinsam eintreten. Tritt eines ein, ist das andere in diesem Versuch ausgeschlossen.

Ziehst du eine Karte aus einem üblichen Kartenspiel, kann sie nicht zugleich rot und schwarz sein. Die beiden Farbereignisse sind disjunkt, weil keine Karte beide Bedingungen erfüllt.

Wie sich disjunkte Ereignisse verhalten

Disjunkte Ereignisse haben kein gemeinsames Ergebnis, ihr Schnitt trägt also nichts zur Summe bei. Die drei Prüfungen unten beschreiben diesen Gedanken über Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten.

Leere Schnittmenge

Disjunkte Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse. Sind $A$ und $B$ disjunkt, dann gilt:

Das Symbol $\emptyset$ weist auf eine leere Menge hin, was bedeutet, dass es keine gemeinsamen Elemente zwischen den beiden Ereignissen gibt.

Unvereinbare Ergebnisse eines Versuchs

Diese Ereignispaare schließen sich jeweils aus:

• bei einem Würfelwurf: gerade Zahl und ungerade Zahl
• beim Ziehen einer Karte: Ass und König
• für dieselbe Person in einem Rennen: erster und zweiter Platz

Disjunkte Ereignisse erkennen

Prüfe die Ergebnismengen vor der Rechnung. Zwei Ereignisse sind nur disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist.

Die Ereignisse "gerade Würfelzahl" und "ungerade Würfelzahl" können denselben Wurf nicht beschreiben. "Primzahl" und "ungerade Zahl" können dagegen beide einen Wurf mit $3$ oder $5$ beschreiben.

Additionsregel für disjunkte Ereignisse

Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge $P(A \cap B)$ ab. Bei disjunkten Ereignissen gilt $P(A \cap B)=0$, sodass dieser Term entfällt:

Die Wahrscheinlichkeit für $A$ oder $B$ ist dann die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Disjunkt bedeutet nicht unabhängig. Gelten $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$, macht die Information, dass $A$ eingetreten ist, $B$ unmöglich. Daher ist $P(A \cap B) = 0$. Unabhängigkeit würde dagegen $P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0$ verlangen.

Leere Schnittmenge in der Additionsregel

Für disjunkte Ereignisse gilt $P(A \cap B) = 0$. Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab:

Setzen wir die leere Schnittmenge ein, erhalten wir:

Berechnungen mit der Additionsregel

Das erste Beispiel enthält eine Überschneidung, die abgezogen werden muss. Die Vergleichsbeispiele nutzen anschließend disjunkte Ereignisse, vom einzelnen Würfel bis zur Summe zweier Würfel. Prüfe die Ergebnismengen, bevor du die Additionsregel auswählst.

Ein Würfelwurf

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine Zahl größer als $4$.

Lösung:

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

• Ereignis $A$ (Primzahl): $A = \{2, 3, 5\}$
• Ereignis $B$ ($\text{Zahl} > 4$): $B = \{5, 6\}$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \{5\}$

Die Zahl $5$ liegt in beiden Ereignissen. Sie sind also nicht disjunkt. Die ursprüngliche Frage lässt sich dennoch beantworten, allerdings muss die Überschneidung abgezogen werden:

Das nächste Beispiel zeigt, wann die kürzere Additionsregel für disjunkte Ereignisse gilt.

Disjunktes Vergleichsbeispiel:

• Ereignis $A$ (ungerade Zahl): $A = \{1, 3, 5\}$
• Ereignis $C$ (gerade Zahl): $C = \{2, 4, 6\}$

Schnittmenge prüfen: $A \cap C = \emptyset$

Da die Schnittmenge leer ist, sind die Ereignisse disjunkt.

Die ungeraden und geraden Ergebnisse decken zusammen alle sechs Würfelseiten ab. Daher hat ihre Vereinigung die Wahrscheinlichkeit $1$.

Zwei Würfel werfen

Zwei faire Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $5$ oder die Summe $7$.

Lösung:

Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Ergebnisse beim Werfen von zwei Würfeln:

Es gibt insgesamt $6 \times 6 = 36$ geordnete Paare.

Ereignisidentifikation:

Ereignis $A$ ($\text{Summe} = 5$):

Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe $5$ ergeben:

• $(1,4): 1 + 4 = 5$
• $(2,3): 2 + 3 = 5$
• $(3,2): 3 + 2 = 5$
• $(4,1): 4 + 1 = 5$

Es gibt also $4 \text{ Wege}$, um die Summe $5$ zu erhalten.

Ereignis $B$ ($\text{Summe} = 7$):

Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe $7$ ergeben:

• $(1,6): 1 + 6 = 7$
• $(2,5): 2 + 5 = 7$
• $(3,4): 3 + 4 = 7$
• $(4,3): 4 + 3 = 7$
• $(5,2): 5 + 2 = 7$
• $(6,1): 6 + 1 = 7$

Es gibt also $6 \text{ Wege}$, um die Summe $7$ zu erhalten.

Schnittmenge prüfen: Eine Würfelsumme kann nicht zugleich $5$ und $7$ sein, also $A \cap B = \emptyset$.

Beide Ereignisse sind disjunkt.

Brüche addieren:

Um $\frac{1}{9} + \frac{1}{6}$ zu addieren, benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $9$ und $6$.

$\operatorname{lcm}(9, 6) = 18$, also:

So gehst du eine Aufgabe zu disjunkten Ereignissen an

Prüfe vor dem Addieren zweier Wahrscheinlichkeiten, ob die Ereignisse ein Ergebnis teilen. Die Schritte unten stellen diese Prüfung zuerst und bestätigen danach das Ergebnis. Ohne diese Prüfung wird ein gemeinsames Ergebnis doppelt gezählt.

Schnittmenge vor dem Addieren prüfen

Bei Aufgaben zu disjunkten Ereignissen gehst du so vor:

1. Bestimme den Ergebnisraum und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse
2. Definiere die Ereignisse eindeutig
3. Prüfe ihre Schnittmenge
4. Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten
5. Wende die Formel an $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Kontrollen für das Endergebnis

Prüfe drei Punkte, bevor du das Ergebnis übernimmst:

• Stelle die Ereignismengen in einem Diagramm oder einer Tabelle dar, wenn ihre Schnittmenge noch unklar ist.
• Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ liegt.
• Lies „oder“ als Vereinigung, sofern die Aufgabe nichts anderes sagt.

Ereignisse mit nicht leerer Schnittmenge

Zwei Ereignisse sind nicht disjunkt, wenn ihre Schnittmenge mindestens ein Ergebnis enthält. Die folgenden Beispiele haben eine nicht leere Schnittmenge:

Beispiel 1: Würfeln

• Ereignis $A$: Das Erhalten einer Primzahl ist $\{2, 3, 5\}$
• Ereignis $B$: Das Erhalten einer ungeraden Zahl ist $\{1, 3, 5\}$

Häufiger Fehler: „Primzahl und ungerade Zahl sind verschiedene Begriffe, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: $A \cap B = \{3, 5\} \ne \emptyset$, also nicht disjunkt

Beispiel 2: Kartenziehen

• Ereignis $A$: Ziehen einer roten Karte
• Ereignis $B$: Ein Ass ziehen

Häufiger Fehler: „Farbe und Kartenwert sind verschiedene Merkmale, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: Herz-Ass und Karo-Ass sind rot und zugleich Asse, also sind die Ereignisse nicht disjunkt.

Beispiel 3: Zwei Schülerkriterien

• Ereignis $A$: Lernende mit einer Körpergröße von $>160 \text{ cm}$
• Ereignis $B$: Schüler, deren Punktzahl über $80$ liegt

Häufiger Fehler: „Größe und Testergebnis sind unterschiedliche Merkmale, daher schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus.“ Tatsächlich: Angenommen, zur Gruppe gehört eine Person mit $170\text{ cm}$ Körpergröße und $90$ Punkten. Diese Person gehört zu beiden Mengen. Die Ereignisse in dieser Gruppe sind daher nicht disjunkt.

Prüfstrategie:

1. Frage: „Kann ein Ergebnis beide Kriterien erfüllen?“
2. Bilde die Schnittmenge der beiden Ereignisse
3. Ist sie nicht leer, sind die Ereignisse nicht disjunkt
4. Ist sie leer, sind die Ereignisse disjunkt

Übungen

Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Schreibe beide Mengen auf und prüfe ihre Schnittmenge, bevor du die Additionsregel auswählst.

1. Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als $3$ oder größer als $5$.

2. Aus einem üblichen Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder einen König.

3. Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau $1$-mal Zahl oder genau $2$-mal Kopf.

4. In einer Schachtel liegen $10 \text{ Kugeln}$ mit den Nummern $1$ bis $10$. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder eine ungerade Primzahl.

Ausführliche Lösungen

Aufgabe 1

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, also $n(S) = 6$

• Ereignis $A$ ($\text{Zahl} < 3$): $A = \{1, 2\}$, also $n(A) = 2$
• Ereignis $B$ ($\text{Zahl} > 5$): $B = \{6\}$, also $n(B) = 1$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \emptyset$ (keine Zahl erfüllt gleichzeitig $x < 3$ und $x > 5$)

Da die Ereignisse disjunkt sind, verwenden wir die Additionsregel:

Aufgabe 2

Die Gesamtzahl der Karten beträgt $52$

• Ereignis $A$ (Ass-Karte): $4 \text{ Asse}$
• Ereignis $B$ (Königskarte): $4 \text{ Könige}$

Schnittmenge prüfen: Keine Karte ist zugleich Ass und König, also $A \cap B = \emptyset$

Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.

Aufgabe 3

Verwende $0$ für Kopf und $1$ für Zahl. Der Ergebnisraum ist $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$ und enthält $4$ Ergebnisse.

• Ereignis $A$ (genau einmal Zahl): $\{(0,1), (1,0)\}$, also $n(A) = 2$
• Ereignis $B$ (genau zweimal Kopf): $\{(0,0)\}$, also $n(B) = 1$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \emptyset$ (genau einmal Zahl und genau zweimal Kopf können nicht zugleich eintreten)

Aufgabe 4

Eine ungerade Primzahl ist eine Primzahl, die auch ungerade ist. Primzahlen aus $1\text{-}10$ sind $\{2, 3, 5, 7\}$, ungerade Primzahlen sind also $\{3, 5, 7\}$.

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, also $n(S) = 10$

• Ereignis $A$ (gerade Zahl): $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$, also $n(A) = 5$
• Ereignis $B$ (ungerade Primzahl): $B = \{3, 5, 7\}$, also $n(B) = 3$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \emptyset$ (keine Zahl ist zugleich gerade und eine ungerade Primzahl)

Brüche addieren:

Um $\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$ zu addieren, müssen wir die Nenner ausgleichen.

$\operatorname{lcm}(2, 10) = 10$, also: