In manchen Wahrscheinlichkeitsmodellen gilt: Die Kenntnis eines Ergebnisses verändert die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht. Wirf eine faire Münze und einen fairen Würfel. Das Ergebnis der Münze liefert keine Information über das Würfelergebnis. Die beiden Ereignisse sind unabhängig.
Die Ereignisse und sind , wenn die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen unverändert bleibt, sobald wir eines als Bedingung voraussetzen. Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmodells. Gleichzeitig stattfindende Ereignisse sind nicht automatisch unabhängig.
A
B
unabhängig
Diese Unterscheidung ist wichtig, weil zwei Ereignisse eine verborgene gemeinsame Ursache haben können. Zwei Alarme steuern einander vielleicht nicht direkt, reagieren aber möglicherweise auf denselben Vorfall. Nimm Unabhängigkeit daher nur an, wenn sie aus dem Modell folgt oder ausdrücklich gegeben ist.
Das Hauptmerkmal unabhängiger Ereignisse lautet: Das Ergebnis eines Ereignisses verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Sind A und B unabhängig und gilt P(B)>0, dann folgt:
P(A∣B)=P(A)
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, wenn B bereits aufgetreten ist, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass A im Allgemeinen auftritt.
Frage zur Prüfung: „Verändert die Kenntnis des ersten Ergebnisses die Wahrscheinlichkeitsverteilung des zweiten?“ Eine bloße Ursache-Wirkungs-Geschichte reicht nicht. Nutze das angegebene Modell oder vergleiche bedingte und gewöhnliche Wahrscheinlichkeit.
Da unabhängige Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen, wird die Berechnung ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit einfach. Die Grundformel für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse lautet:
P(A∩B)=P(A)×P(B)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gemeinsam eintreten, ist also das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
Zwei unabhängig versorgte Überwachungssensoren führen täglich einen Selbsttest durch. Sensor A besteht ihn mit Wahrscheinlichkeit 0,98, Sensor B mit Wahrscheinlichkeit 0,92. Wie groß ist im angegebenen Unabhängigkeitsmodell die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests erfolgreich sind?
Die Unabhängigkeitsannahme ist Teil dieses Modells. Wenn beide Sensoren eine gemeinsame Stromversorgung oder ein gemeinsames Netzwerk hätten, müssten wir diese Annahme erneut testen.
Lösung:
Ereignis A: Der erste Sensor besteht seinen Selbsttest
Ereignis B: Der zweite Sensor besteht seinen Selbsttest
Das Problem besagt, dass die beiden Selbsttests unabhängig sind, sodass ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
Detaillierte Berechnung:
P(A∩B)=P(A)×P(B)
P(A∩B)=0,98×0,92=0,9016
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sensoren bestehen, beträgt somit 0,9016 oder 90,16%.
Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei der ersten und Zahl bei der zweiten Münze.
Ein fairer Würfel wird unabhängig vom Ziehen einer Karte aus einem gemischten Standardkartenspiel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl auf dem Würfel und eine rote Karte.
In einer Klasse beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen in Mathematik 0,85 und in Physik 0,78. Das Modell nimmt Unabhängigkeit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen?
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl.
Bearbeiten Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Begründen Sie die Unabhängigkeit, bevor Sie Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
