Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse

Ein Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht

In manchen Wahrscheinlichkeitsmodellen gilt: Die Kenntnis eines Ergebnisses lässt die $Wahrscheinlichkeit des anderen unverändert$ . Wirf eine faire Münze und einen fairen Würfel. Das Ergebnis der Münze liefert keine Information über das Würfelergebnis. Die beiden Ereignisse sind unabhängig.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind $unabhängig$ , wenn $die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen unverändert bleibt$ , sobald wir eines als Bedingung voraussetzen. Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmodells. Gleichzeitig stattfindende Ereignisse sind nicht automatisch unabhängig.

Zwei Ereignisse können eine gemeinsame Ursache haben, obwohl keines das andere direkt steuert. Zwei Alarme können zum Beispiel auf denselben Vorfall reagieren. Nimm Unabhängigkeit nur an, wenn sie im Wahrscheinlichkeitsmodell vorgegeben ist oder sich aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten ergibt.

Wie sich Unabhängigkeit in den Wahrscheinlichkeiten zeigt

Bei unabhängigen Ereignissen $ändert die Information über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit nicht$ , mit der das andere eintritt. Die Ereignisse können aus demselben oder aus getrennten Versuchen stammen. Entscheidend sind ihre Wahrscheinlichkeiten, nicht die Anzahl der Versuche.

Unveränderte bedingte Wahrscheinlichkeit

Das Hauptmerkmal unabhängiger Ereignisse lautet: Das Ergebnis eines Ereignisses $verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht$ . Sind $A$ und $B$ unabhängig und gilt $P(B) > 0$ , dann folgt:

P(A|B) = P(A)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ auftritt, wenn $B$ bereits aufgetreten ist, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ im Allgemeinen auftritt.

Getrennte Zufallsversuche

Beispiele mit einem klar $unabhängigen Mechanismus$ sind:

zwei getrennte faire Münzwürfe
je eine Karte aus zwei unabhängig gemischten Stapeln
zwei getrennte faire Würfel
zwei Zufallszahlen aus unabhängigen Versuchen

Identifizieren unabhängiger Ereignisse

Frage zur Prüfung: „Verändert die Kenntnis des ersten Ergebnisses die Wahrscheinlichkeitsverteilung des zweiten?“ Eine vermutete Ursache-Wirkungs-Beziehung allein reicht nicht aus. Nutze das angegebene Modell oder vergleiche die bedingte mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit.

Als Beispiel aus $einem einzigen fairen Würfelwurf$ betrachten wir $A=\{2,4,6\}$ und $B=\{3,6\}$ . Die Tabelle zeigt die Zugehörigkeit aller sechs Ergebnisse.

Ergebnis	Gehört zu A	Gehört zu B
1	Nein	Nein
2	Ja	Nein
3	Nein	Ja
4	Ja	Nein
5	Nein	Nein
6	Ja	Ja

P(A)=\frac36=\frac12,\quad P(B)=\frac26=\frac13,\quad P(A\cap B)=\frac16=\frac12\times\frac13

Die Ereignisse sind unabhängig, obwohl sie aus einem Wurf stammen und die Schnittmenge $\{6\}$ haben.

Formel für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse

Da unabhängige Ereignisse sich nicht gegenseitig beeinflussen, wird die Berechnung ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit einfach. Die $Grundformel$ für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse lautet:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ gemeinsam eintreten, ist also das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.

Warum die beiden Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden

Bei unabhängigen Ereignissen stimmt die $bedingte Wahrscheinlichkeit$ mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit überein. Wegen $P(A|B) = P(A)$ lautet die Multiplikationsregel:

P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = P(A) \times P(B)

Setzen wir $P(A|B)=P(A)$ in die Multiplikationsregel ein, erhalten wir $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Berechnungen mit unabhängigen Ereignissen

Jede Rechnung unten $multipliziert die Wahrscheinlichkeiten$ zweier unabhängiger Ereignisse. Die Beispiele gehen von zwei Würfeln über einen Würfel und eine Münze bis zu zwei Sensortests.

Zwei Würfel werfen

Ein roter und ein weißer fairer Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der rote Würfel $2$ und der weiße $5$ zeigt.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ : Der rote Würfel zeigt $2$
Ereignis $B$ : Der weiße Würfel zeigt $5$

Beide Ereignisse sind $unabhängig$ , da das Ergebnis des roten Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis des weißen Würfels hat.

P(A) = \frac{1}{6}

Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl $2$ auf dem roten Würfel und die Zahl $5$ auf dem weißen Würfel zu bekommen, beträgt also $\frac{1}{36}$ .

Werfen eines Würfels und einer Münze

Ein fairer Würfel und eine faire Münze werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Würfelzahl und die Zahlseite der Münze.

$Lösung$ :

S_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Ereignis $A$ : Die gerade Würfelzahl liegt in $\{2, 4, 6\}$
Ereignis $B$ : Die Zahlseite der Münze wird durch $1$ dargestellt, also $\{1\}$

Beide Ereignisse sind $unabhängig$ , da das Ergebnis des Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis der Münze hat.

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Unabhängige Selbsttests zweier Sensoren

Zwei unabhängig versorgte Überwachungssensoren führen täglich einen Selbsttest durch. Sensor $A$ besteht ihn mit Wahrscheinlichkeit $0{,}98$ , Sensor $B$ mit Wahrscheinlichkeit $0{,}92$ . Wie groß ist im angegebenen Unabhängigkeitsmodell die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests erfolgreich sind?

Die Unabhängigkeitsannahme ist Teil dieses Modells. Wenn beide Sensoren eine gemeinsame Stromversorgung oder ein gemeinsames Netzwerk hätten, müssten wir diese Annahme erneut testen.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ : Der erste Sensor besteht seinen Selbsttest
Ereignis $B$ : Der zweite Sensor besteht seinen Selbsttest

Das Problem besagt, dass die beiden Selbsttests $unabhängig$ sind, sodass ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.

$Detaillierte Berechnung$ :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sensoren bestehen, beträgt somit $0{,}9016$ oder $90{,}16\%$ .

So gehst du eine Unabhängigkeitsaufgabe an

Die Multiplikation kann ein falsches Ergebnis liefern, wenn $die Unabhängigkeit ungeprüft bleibt$ . Die Schritte unten stellen diese Prüfung an den Anfang und kontrollieren am Ende das Ergebnis.

Unabhängigkeit vor dem Multiplizieren prüfen

Bei Aufgaben mit unabhängigen Ereignissen gehst du so vor:

$Benenne die Ereignisse$ im Problem
$Prüfe ihre Unabhängigkeit$ anhand des Modells oder der bedingten Wahrscheinlichkeiten
$Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten$
$Wende die Formel an$ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$Prüfe das Ergebnis$ im Kontext der Aufgabe

Kontrollen für das Endergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass $beide Ereignisse eintreten$ , darf keine der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten übersteigen. Die Schnittmenge enthält nur Ergebnisse, die bereits zu jedem Ereignis gehören.

0\le P(A\cap B)\le\min\{P(A),P(B)\}

Beim Sensorbeispiel gilt $0{,}9016\le0{,}92$ , die Schranke ist also erfüllt. Sie $beweist keine Unabhängigkeit$ . Diese muss weiterhin aus dem Modell oder der Gleichheit bedingter Wahrscheinlichkeiten folgen.

Unabhängige Ereignisse erkennen

Prüfe die folgenden Merkmale, um unabhängige Ereignisse zu erkennen:

$Unabhängig unter dem angegebenen Modell$ :

getrennte Würfe mit fairen Münzen
Kartenziehen mit Zurücklegen und erneutem Mischen
Würfe mit separaten fairen Würfeln
unabhängige Zufallsversuche

$Situationen, in denen Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden darf$ :

Kartenziehen ohne Zurücklegen
Körpergröße und Gewicht einer Person, sofern Modell oder Daten keine Unabhängigkeit belegen
Testergebnisse derselben Person in verschiedenen Fächern, sofern keine Unabhängigkeit nachgewiesen ist
Lufttemperatur und Luftfeuchtigkeit, sofern keine Unabhängigkeit für das betrachtete Modell nachgewiesen ist

Übungen

Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei der ersten und Zahl bei der zweiten Münze.
Ein fairer Würfel wird unabhängig vom Ziehen einer Karte aus einem gemischten Standardkartenspiel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl auf dem Würfel und eine rote Karte.
In einer Klasse beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen in Mathematik $0{,}85$ und in Physik $0{,}78$ . Das Modell nimmt Unabhängigkeit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen?
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl.

Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. $Begründe die Unabhängigkeit$ , bevor du Wahrscheinlichkeiten multiplizierst.

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Ereignis $A$ : Kopf bei der ersten Münze, $P(A) = \frac{1}{2}$
Ereignis $B$ : Zahl bei der zweiten Münze, $P(B) = \frac{1}{2}$

Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis der ersten Münze keinen Einfluss auf die zweite Münze hat.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$Aufgabe 2$

Ereignis $A$ : Primzahl auf dem Würfel ist $\{2, 3, 5\}$ , also $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ereignis $B$ : Rote Karte (Herzen und Karo), also $P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

Beide Ereignisse sind unabhängig.

P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$Aufgabe 3$

Ereignis $A$ : Mathematik bestanden, $P(A) = 0{,}85$
Ereignis $B$ : Physik bestanden, $P(B) = 0{,}78$

Da beide Fächer unabhängig sind:

P(A \cap B) = 0{,}85 \times 0{,}78 = 0{,}663

Die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen, beträgt $0{,}663$ oder $66{,}3\%$ .

$Aufgabe 4$

$Methode 1: Direkte Aufzählung$

Verwende $0$ für Kopf und $1$ für Zahl. Der Ergebnisraum für $3$ Münzen enthält $8$ Ergebnisse:

\left\{\begin{gathered} 000, 001, 010, 011, \\ 100, 101, 110, 111 \end{gathered}\right\}

Genau zweimal Zahl tritt in $\{011, 101, 110\}$ auf. Es gibt also $3$ günstige Ergebnisse.

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \frac{3}{8}

$Methode 2: Binomialverteilung verwenden$

Für $n = 3$ Würfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{2}$ für Zahl berechnen wir genau $k = 2$ Erfolge:

P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

Werte ersetzen:

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1

$Schritt-für-Schritt-Erklärung$ :

$\binom{3}{2} = 3$ (Auswahl der $2$ Positionen für Zahl unter $3$ Würfen)
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ (Wahrscheinlichkeit für $2$ Zahlseiten)
$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit für $1$ Kopfseite)

Die Berechnung lautet also:

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl beträgt somit $\frac{3}{8}$ .

Ein Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht

Wie sich Unabhängigkeit in den Wahrscheinlichkeiten zeigt

Unveränderte bedingte Wahrscheinlichkeit

Das Hauptmerkmal unabhängiger Ereignisse lautet: Das Ergebnis eines Ereignisses $verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht$ . Sind $A$ und $B$ unabhängig und gilt $P(B) > 0$ , dann folgt:

P(A|B) = P(A)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ auftritt, wenn $B$ bereits aufgetreten ist, genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ im Allgemeinen auftritt.

Getrennte Zufallsversuche

Beispiele mit einem klar $unabhängigen Mechanismus$ sind:

zwei getrennte faire Münzwürfe
je eine Karte aus zwei unabhängig gemischten Stapeln
zwei getrennte faire Würfel
zwei Zufallszahlen aus unabhängigen Versuchen

Identifizieren unabhängiger Ereignisse

Als Beispiel aus $einem einzigen fairen Würfelwurf$ betrachten wir $A=\{2,4,6\}$ und $B=\{3,6\}$ . Die Tabelle zeigt die Zugehörigkeit aller sechs Ergebnisse.

Ergebnis	Gehört zu A	Gehört zu B
1	Nein	Nein
2	Ja	Nein
3	Nein	Ja
4	Ja	Nein
5	Nein	Nein
6	Ja	Ja

P(A)=\frac36=\frac12,\quad P(B)=\frac26=\frac13,\quad P(A\cap B)=\frac16=\frac12\times\frac13

Die Ereignisse sind unabhängig, obwohl sie aus einem Wurf stammen und die Schnittmenge $\{6\}$ haben.

Formel für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ gemeinsam eintreten, ist also das Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.

Warum die beiden Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden

Bei unabhängigen Ereignissen stimmt die $bedingte Wahrscheinlichkeit$ mit der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeit überein. Wegen $P(A|B) = P(A)$ lautet die Multiplikationsregel:

P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = P(A) \times P(B)

Setzen wir $P(A|B)=P(A)$ in die Multiplikationsregel ein, erhalten wir $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Berechnungen mit unabhängigen Ereignissen

Jede Rechnung unten $multipliziert die Wahrscheinlichkeiten$ zweier unabhängiger Ereignisse. Die Beispiele gehen von zwei Würfeln über einen Würfel und eine Münze bis zu zwei Sensortests.

Zwei Würfel werfen

Ein roter und ein weißer fairer Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der rote Würfel $2$ und der weiße $5$ zeigt.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ : Der rote Würfel zeigt $2$
Ereignis $B$ : Der weiße Würfel zeigt $5$

Beide Ereignisse sind $unabhängig$ , da das Ergebnis des roten Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis des weißen Würfels hat.

P(A) = \frac{1}{6}

Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl $2$ auf dem roten Würfel und die Zahl $5$ auf dem weißen Würfel zu bekommen, beträgt also $\frac{1}{36}$ .

Werfen eines Würfels und einer Münze

Ein fairer Würfel und eine faire Münze werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Würfelzahl und die Zahlseite der Münze.

$Lösung$ :

S_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Ereignis $A$ : Die gerade Würfelzahl liegt in $\{2, 4, 6\}$
Ereignis $B$ : Die Zahlseite der Münze wird durch $1$ dargestellt, also $\{1\}$

Beide Ereignisse sind $unabhängig$ , da das Ergebnis des Würfels keinen Einfluss auf das Ergebnis der Münze hat.

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Unabhängige Selbsttests zweier Sensoren

Die Unabhängigkeitsannahme ist Teil dieses Modells. Wenn beide Sensoren eine gemeinsame Stromversorgung oder ein gemeinsames Netzwerk hätten, müssten wir diese Annahme erneut testen.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ : Der erste Sensor besteht seinen Selbsttest
Ereignis $B$ : Der zweite Sensor besteht seinen Selbsttest

Das Problem besagt, dass die beiden Selbsttests $unabhängig$ sind, sodass ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.

$Detaillierte Berechnung$ :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Sensoren bestehen, beträgt somit $0{,}9016$ oder $90{,}16\%$ .

So gehst du eine Unabhängigkeitsaufgabe an

Die Multiplikation kann ein falsches Ergebnis liefern, wenn $die Unabhängigkeit ungeprüft bleibt$ . Die Schritte unten stellen diese Prüfung an den Anfang und kontrollieren am Ende das Ergebnis.

Unabhängigkeit vor dem Multiplizieren prüfen

Bei Aufgaben mit unabhängigen Ereignissen gehst du so vor:

$Benenne die Ereignisse$ im Problem
$Prüfe ihre Unabhängigkeit$ anhand des Modells oder der bedingten Wahrscheinlichkeiten
$Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten$
$Wende die Formel an$ $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
$Prüfe das Ergebnis$ im Kontext der Aufgabe

Kontrollen für das Endergebnis

0\le P(A\cap B)\le\min\{P(A),P(B)\}

Unabhängige Ereignisse erkennen

Prüfe die folgenden Merkmale, um unabhängige Ereignisse zu erkennen:

$Unabhängig unter dem angegebenen Modell$ :

getrennte Würfe mit fairen Münzen
Kartenziehen mit Zurücklegen und erneutem Mischen
Würfe mit separaten fairen Würfeln
unabhängige Zufallsversuche

$Situationen, in denen Unabhängigkeit nicht vorausgesetzt werden darf$ :

Kartenziehen ohne Zurücklegen
Körpergröße und Gewicht einer Person, sofern Modell oder Daten keine Unabhängigkeit belegen
Testergebnisse derselben Person in verschiedenen Fächern, sofern keine Unabhängigkeit nachgewiesen ist
Lufttemperatur und Luftfeuchtigkeit, sofern keine Unabhängigkeit für das betrachtete Modell nachgewiesen ist

Übungen

Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei der ersten und Zahl bei der zweiten Münze.
Ein fairer Würfel wird unabhängig vom Ziehen einer Karte aus einem gemischten Standardkartenspiel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl auf dem Würfel und eine rote Karte.
In einer Klasse beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen in Mathematik $0{,}85$ und in Physik $0{,}78$ . Das Modell nimmt Unabhängigkeit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen?
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl.

Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. $Begründe die Unabhängigkeit$ , bevor du Wahrscheinlichkeiten multiplizierst.

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Ereignis $A$ : Kopf bei der ersten Münze, $P(A) = \frac{1}{2}$
Ereignis $B$ : Zahl bei der zweiten Münze, $P(B) = \frac{1}{2}$

Beide Ereignisse sind unabhängig, da das Ergebnis der ersten Münze keinen Einfluss auf die zweite Münze hat.

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$Aufgabe 2$

Ereignis $A$ : Primzahl auf dem Würfel ist $\{2, 3, 5\}$ , also $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Ereignis $B$ : Rote Karte (Herzen und Karo), also $P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

Beide Ereignisse sind unabhängig.

P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$Aufgabe 3$

Ereignis $A$ : Mathematik bestanden, $P(A) = 0{,}85$
Ereignis $B$ : Physik bestanden, $P(B) = 0{,}78$

Da beide Fächer unabhängig sind:

P(A \cap B) = 0{,}85 \times 0{,}78 = 0{,}663

Die Wahrscheinlichkeit, beide Fächer zu bestehen, beträgt $0{,}663$ oder $66{,}3\%$ .

$Aufgabe 4$

$Methode 1: Direkte Aufzählung$

Verwende $0$ für Kopf und $1$ für Zahl. Der Ergebnisraum für $3$ Münzen enthält $8$ Ergebnisse:

\left\{\begin{gathered} 000, 001, 010, 011, \\ 100, 101, 110, 111 \end{gathered}\right\}

Genau zweimal Zahl tritt in $\{011, 101, 110\}$ auf. Es gibt also $3$ günstige Ergebnisse.

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \frac{3}{8}

$Methode 2: Binomialverteilung verwenden$

Für $n = 3$ Würfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{2}$ für Zahl berechnen wir genau $k = 2$ Erfolge:

P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}

Werte ersetzen:

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^1

$Schritt-für-Schritt-Erklärung$ :

$\binom{3}{2} = 3$ (Auswahl der $2$ Positionen für Zahl unter $3$ Würfen)
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ (Wahrscheinlichkeit für $2$ Zahlseiten)
$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$ (Wahrscheinlichkeit für $1$ Kopfseite)

Die Berechnung lautet also:

P(\text{genau 2-mal Zahl}) = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

Die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Zahl beträgt somit $\frac{3}{8}$ .