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Disjunkte Ereignisse können innerhalb desselben Zufallsversuchs nicht gemeinsam eintreten. Tritt eines ein, ist das andere in diesem Versuch ausgeschlossen.
Ziehst du eine Karte aus einem üblichen Kartenspiel, kann sie nicht zugleich rot und schwarz sein. Die beiden Farbereignisse sind disjunkt, weil keine Karte beide Bedingungen erfüllt.
Disjunkte Ereignisse haben kein gemeinsames Ergebnis, ihr Schnitt trägt also nichts zur Summe bei. Die drei Prüfungen unten beschreiben diesen Gedanken über Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten.
Disjunkte Ereignisse haben keine gemeinsamen Ergebnisse. Sind und disjunkt, dann gilt:
Das Symbol weist auf eine leere Menge hin, was bedeutet, dass es keine gemeinsamen Elemente zwischen den beiden Ereignissen gibt.
Diese Ereignispaare schließen sich jeweils aus:
Prüfe die Ergebnismengen vor der Rechnung. Zwei Ereignisse sind nur disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist.
| Prüfung | Leere Schnittmenge | Nicht leere Schnittmenge |
|---|---|---|
| Kann ein Ergebnis beide Ereignisse erfüllen? | Nein | Ja |
| Klassifikation | Disjunkt | Nicht disjunkt |
| Additionsregel |
Die Ereignisse "gerade Würfelzahl" und "ungerade Würfelzahl" können denselben Wurf nicht beschreiben. "Primzahl" und "ungerade Zahl" können dagegen beide einen Wurf mit oder beschreiben.
Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab. Bei disjunkten Ereignissen gilt , sodass dieser Term entfällt:
Die Wahrscheinlichkeit für oder ist dann die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
Disjunkt bedeutet nicht unabhängig. Gelten und , macht die Information, dass eingetreten ist, unmöglich. Daher ist . Unabhängigkeit würde dagegen verlangen.
Für disjunkte Ereignisse gilt . Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab:
Setzen wir die leere Schnittmenge ein, erhalten wir:
Das erste Beispiel enthält eine Überschneidung, die abgezogen werden muss. Die Vergleichsbeispiele nutzen anschließend disjunkte Ereignisse, vom einzelnen Würfel bis zur Summe zweier Würfel. Prüfe die Ergebnismengen, bevor du die Additionsregel auswählst.
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine Zahl größer als .
Lösung:
Ergebnisraum:
Schnittmenge prüfen:
Die Zahl liegt in beiden Ereignissen. Sie sind also nicht disjunkt. Die ursprüngliche Frage lässt sich dennoch beantworten, allerdings muss die Überschneidung abgezogen werden:
Das nächste Beispiel zeigt, wann die kürzere Additionsregel für disjunkte Ereignisse gilt.
Disjunktes Vergleichsbeispiel:
Schnittmenge prüfen:
Da die Schnittmenge leer ist, sind die Ereignisse disjunkt.
Die ungeraden und geraden Ergebnisse decken zusammen alle sechs Würfelseiten ab. Daher hat ihre Vereinigung die Wahrscheinlichkeit .
Zwei faire Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe oder die Summe .
Lösung:
Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Ergebnisse beim Werfen von zwei Würfeln:
| Würfel \ Würfel | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
Es gibt insgesamt geordnete Paare.
Ereignisidentifikation:
Ereignis ():
Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben:
Es gibt also , um die Summe zu erhalten.
Ereignis ():
Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben:
Es gibt also , um die Summe zu erhalten.
Schnittmenge prüfen: Eine Würfelsumme kann nicht zugleich und sein, also .
Beide Ereignisse sind disjunkt.
Brüche addieren:
Um zu addieren, benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
, also:
Prüfe vor dem Addieren zweier Wahrscheinlichkeiten, ob die Ereignisse ein Ergebnis teilen. Die Schritte unten stellen diese Prüfung zuerst und bestätigen danach das Ergebnis. Ohne diese Prüfung wird ein gemeinsames Ergebnis doppelt gezählt.
Bei Aufgaben zu disjunkten Ereignissen gehst du so vor:
Prüfe drei Punkte, bevor du das Ergebnis übernimmst:
Zwei Ereignisse sind nicht disjunkt, wenn ihre Schnittmenge mindestens ein Ergebnis enthält. Die folgenden Beispiele haben eine nicht leere Schnittmenge:
Beispiel 1: Würfeln
Häufiger Fehler: „Primzahl und ungerade Zahl sind verschiedene Begriffe, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: , also nicht disjunkt
Beispiel 2: Kartenziehen
Häufiger Fehler: „Farbe und Kartenwert sind verschiedene Merkmale, also sind die Ereignisse disjunkt.“ Tatsächlich: Herz-Ass und Karo-Ass sind rot und zugleich Asse, also sind die Ereignisse nicht disjunkt.
Beispiel 3: Zwei Schülerkriterien
Häufiger Fehler: „Größe und Testergebnis sind unterschiedliche Merkmale, daher schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus.“ Tatsächlich: Angenommen, zur Gruppe gehört eine Person mit Körpergröße und Punkten. Diese Person gehört zu beiden Mengen. Die Ereignisse in dieser Gruppe sind daher nicht disjunkt.
Prüfstrategie:
Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Schreibe beide Mengen auf und prüfe ihre Schnittmenge, bevor du die Additionsregel auswählst.
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als oder größer als .
Aus einem üblichen Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder einen König.
Zwei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau -mal Zahl oder genau -mal Kopf.
In einer Schachtel liegen mit den Nummern bis . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder eine ungerade Primzahl.
Aufgabe 1
Ergebnisraum: , also
Schnittmenge prüfen: (keine Zahl erfüllt gleichzeitig und )
Da die Ereignisse disjunkt sind, verwenden wir die Additionsregel:
Aufgabe 2
Die Gesamtzahl der Karten beträgt
Schnittmenge prüfen: Keine Karte ist zugleich Ass und König, also
Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus.
Aufgabe 3
Verwende für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist und enthält Ergebnisse.
Schnittmenge prüfen: (genau einmal Zahl und genau zweimal Kopf können nicht zugleich eintreten)
Aufgabe 4
Eine ungerade Primzahl ist eine Primzahl, die auch ungerade ist. Primzahlen aus sind , ungerade Primzahlen sind also .
Ergebnisraum: , also
Schnittmenge prüfen: (keine Zahl ist zugleich gerade und eine ungerade Primzahl)
Brüche addieren:
Um zu addieren, müssen wir die Nenner ausgleichen.
, also:
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