Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse

Mehrere Ereignisse in einer Bedingung verbinden

Viele Wahrscheinlichkeitsfragen verbinden $zwei oder mehr Ereignisse$ . Wir werfen etwa einen Würfel und eine Münze oder ziehen zwei Karten aus einem Stapel. Solche Situationen beschreiben zusammengesetzte Ereignisse.

Ein $zusammengesetztes Ereignis$ verbindet zwei oder mehr Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsmodell. Wir können zum Beispiel eine Bedingung formulieren, die sowohl das Würfel- als auch das Münzergebnis umfasst.

Angenommen, du wirfst einen Würfel und eine Münze. Ein einzelnes Ereignis betrachtet nur eines der beiden Ergebnisse. Ein zusammengesetztes Ereignis bezieht beide ein, zum Beispiel: „Der Würfel zeigt $3$ UND die Münze zeigt Zahl.“

Typen zusammengesetzter Ereignisse

Zwei Ereignisse teilen entweder Ergebnisse oder schließen einander aus, und dieser Unterschied entscheidet über die Formel. Ein gemeinsames Ergebnis beweist eine Überschneidung. Um gegenseitigen Ausschluss zu beweisen, musst du zeigen, dass es $kein gemeinsames Ergebnis$ gibt. Unabhängigkeit beantwortet eine andere Frage: Ändert die Information über ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit des anderen?

Sich ausschließende Ereignisse

Zwei Ereignisse $schließen sich gegenseitig aus$ , wenn sie im selben Versuch nicht gemeinsam eintreten können. Tritt $A$ ein, kann $B$ nicht eintreten, und umgekehrt.

Ein einfaches Beispiel ist ein Würfelwurf. „Das Ergebnis ist gerade“ und „Das Ergebnis ist ungerade“ schließen sich gegenseitig aus, denn eine Zahl kann nicht beides sein.

Für zwei sich ausschließende Ereignisse gilt:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

$Berechnungsbeispiel$ :

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder für $1$ oder $3$ .

$Lösung$ :

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Ereignis $A$ (gerade Zahlen): $A = \{2, 4, 6\}$
Ereignis $B$ (Zahlen $1$ oder $3$ ): $B = \{1, 3\}$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \emptyset$ (leere Menge)

Da es keinen Schnittpunkt gibt, $schließen sich beide Ereignisse gegenseitig aus$ .

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Ereignisse mit Überschneidung

Ereignisse schließen sich $nicht gegenseitig aus$ , wenn sie im selben Versuch gemeinsam eintreten können. Ihre Schnittmenge ist nicht leer.

Beispielsweise schließen sich „eine rote Karte ziehen“ und „ein Ass ziehen“ nicht gegenseitig aus. Das Herz-Ass und das Karo-Ass erfüllen beide Bedingungen.

Für Ereignisse mit Überschneidung gilt:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Wir subtrahieren $P(A \cap B)$ , weil die Ergebnisse der Schnittmenge einmal in $P(A)$ und ein zweites Mal in $P(B)$ gezählt wurden.

$Berechnungsbeispiel$ :

Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte oder eine Bildkarte (Bube, Dame, König).

$Lösung$ :

Gesamtzahl der Karten $= 52$

Ereignis $A$ (rote Karten): $26 \text{ Karten}$ ( $13 \text{ Herz} + 13 \text{ Karo}$ )
Ereignis $B$ (Bildkarten): $12 \text{ Karten}$ ( $4 \text{ Buben} + 4 \text{ Damen} + 4 \text{ Könige}$ )

Schnittmenge (rote Bildkarten): $6 \text{ Karten}$ (Bube, Dame und König in Herz und Karo)

Farbe	Bildkarte	Keine Bildkarte	Gesamt
Rot	6	20	26
Schwarz	6	20	26
Gesamt	12	40	52

P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}

Unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse sind $unabhängig$ , wenn die Erkenntnis, dass eines eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des anderen nicht ändert. Ob sie gleichzeitig stattfinden können, beantwortet eine andere Frage.

Ein einfaches Beispiel sind zwei faire Münzen. Die Information, dass die erste Münze Kopf zeigt, ändert nichts an der zweiten: Die Wahrscheinlichkeit für Zahl bleibt $50\%$ .

Für unabhängige Ereignisse gilt:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

$Berechnungsbeispiel$ :

Zwei faire Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Würfel $3$ und der zweite eine gerade Zahl zeigt.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ (Zahl $3$ auf dem ersten Würfel): $1 \text{ Möglichkeit}$ von $6$
Ereignis $B$ (gerade Zahl auf zweitem Würfel): $\{2, 4, 6\} = 3 \text{ Möglichkeiten}$ von $6$

Da das Ergebnis des ersten Würfels keinen Einfluss auf den zweiten Würfel hat, sind beide Ereignisse unabhängig voneinander.

P(A) = \frac{1}{6}

Abhängige Ereignisse

Ereignisse sind $abhängig$ , wenn die Information, dass eines eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert. Diese Information setzt keine zeitliche Reihenfolge voraus und beweist für sich allein keinen ursächlichen Zusammenhang.

Eine häufige Ursache ist das Ziehen $ohne Zurücklegen$ . Das gezogene Objekt kommt nicht zurück. Dadurch ändern sich die Gesamtzahl der Objekte und möglicherweise auch die Anzahl der günstigen Objekte.

Die folgende Multiplikationsregel gilt bei $P(A)>0$ sowohl für unabhängige als auch für abhängige Ereignisse:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Dabei bezeichnet $P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ bereits eingetreten ist.

$Berechnungsbeispiel$ :

In einer Schachtel liegen $8 \text{ blaue Kugeln}$ und $4 \text{ gelbe Kugeln}$ . Zwei Kugeln werden zufällig $ohne Zurücklegen$ gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide blau sind.

$Lösung$ :

Zu Beginn liegen $8 + 4 = 12 \text{ Kugeln}$ in der Schachtel.

Ereignis $A$ (erste Kugel blau): $8 \text{ blaue Kugeln}$ von insgesamt $12 \text{ Kugeln}$
Ereignis $B$ bedeutet eine blaue zweite Kugel. Unter der Bedingung $A$ : Nach $1 \text{ blauen Kugel}$ bleiben $7 \text{ blaue Kugeln}$ unter insgesamt $11 \text{ Kugeln}$

Da nicht zurückgelegt wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind daher abhängig.

P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Berechnungen mit Vereinigung und Schnittmenge

Vereinigung und Schnittmenge beantworten verschiedene Fragen zu denselben zwei Ereignissen. Bei der Vereinigung zählt ein Ergebnis, das in einem der beiden Ereignisse liegt, die Schnittmenge behält dagegen nur $Ergebnisse, die in beiden liegen$ .

Vereinigung

Für „Ereignis $A$ $ODER$ Ereignis $B$ “ verwenden wir die Vereinigung. Das „oder“ ist einschließend: Mindestens eines der Ereignisse tritt ein, und eine Überschneidung gehört ebenfalls dazu.

Bei einem fairen Würfelwurf sind die ungeraden Zahlen $\{1,3,5\}$ und die Primzahlen $\{2,3,5\}$ . Ihre Vereinigung enthält vier verschiedene Ergebnisse.

A\cup B=\{1,2,3,5\},\qquad P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Schnittmenge

Für „Ereignis $A$ $UND$ Ereignis $B$ “ verwenden wir die Schnittmenge. Jedes gezählte Ergebnis muss beide Bedingungen erfüllen.

In einem Standardkartenspiel tragen rote Karten mit geradem Zahlenwert die Werte $2,4,6,8,10$ in den beiden roten Farben Herz und Karo. Somit erfüllen $5\times2=10$ Karten $beide Bedingungen zugleich$ .

P(A\cap B)=\frac{10}{52}=\frac{5}{26}

Problemlösungsstrategie

Beginne ein Problem mit zusammengesetzten Ereignissen, indem du $die Beziehung zwischen den Ereignissen bestimmst$ . Schlüsselwörter helfen, entscheidend ist aber der zugrunde liegende Zufallsmechanismus:

$„oder“$ weist auf eine Vereinigung hin
$„und“$ weist auf eine Schnittmenge hin
$„ohne Zurücklegen“$ verlangt eine neue Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten
$„mit Zurücklegen“$ bewahrt oft die Unabhängigkeit, aber prüfe trotzdem, ob ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen wirklich nicht verändert

Prüfe anschließend, $ob beide Ereignisse gemeinsam eintreten können$ . Wähle erst dann die Formel und kontrolliere, ob eine Überschneidung doppelt gezählt würde.

Übungen

Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Benenne die Ereignisse, entscheide zwischen $Vereinigung und Schnittmenge$ und begründe, ob sie sich ausschließen, unabhängig oder abhängig sind.

Bestimme bei einem Würfelwurf die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine ungerade Zahl.
Eine Schachtel enthält $6 \text{ rote Kugeln}$ und $4 \text{ weiße Kugeln}$ . Zwei Kugeln werden zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide rot sind.
Zwei Würfel werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihre Summe $7$ oder $11$ beträgt.
Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder eine schwarze Karte.

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , also $n(S) = 6$

Ereignis $A$ (Primzahlen): $A = \{2, 3, 5\}$ , also $n(A) = 3$
Ereignis $B$ (ungerade Zahlen): $B = \{1, 3, 5\}$ , also $n(B) = 3$

Schnittmenge von $A$ und $B$ : $A \cap B = \{3, 5\}$ , also $n(A \cap B) = 2$

Weil die Schnittmenge nicht leer ist, schließen sich die Ereignisse nicht aus. Wir verwenden daher die allgemeine Additionsregel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$Aufgabe 2$

Insgesamt liegen $6 + 4 = 10 \text{ Kugeln}$ in der Schachtel.

Ereignis $A$ (erste Kugel rot): $6 \text{ rote Kugeln}$ von insgesamt $10 \text{ Kugeln}$
Ereignis $B$ bedeutet eine rote zweite Kugel. Unter der Bedingung $A$ : Nach $1 \text{ roten Kugel}$ bleiben $5 \text{ rote Kugeln}$ unter insgesamt $9 \text{ Kugeln}$

Da $ohne Zurücklegen$ gezogen wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind abhängig.

P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

$Aufgabe 3$

Es gibt insgesamt $6 \times 6 = 36$ geordnete Würfelpaare.

Ereignis $A$ (Summe ist $7$ ): $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ → $6 \text{ Wege}$
Ereignis $B$ (Summe ist $11$ ): $(5,6)$ , $(6,5)$ → $2 \text{ Wege}$

Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, da die Würfelsumme nicht gleichzeitig $7$ und $11$ sein kann.

P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

$Aufgabe 4$

Gesamtzahl der Karten $= 52$

Ereignis $A$ (Asskarten): $4 \text{ Asse}$
Ereignis $B$ (schwarze Karten): $26 \text{ Karten}$ (Pik und Kreuz)

Schnittmenge (schwarze Asse): Pik-Ass und Kreuz-Ass ergeben $2 \text{ Karten}$

P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

Mehrere Ereignisse in einer Bedingung verbinden

Typen zusammengesetzter Ereignisse

Sich ausschließende Ereignisse

Zwei Ereignisse $schließen sich gegenseitig aus$ , wenn sie im selben Versuch nicht gemeinsam eintreten können. Tritt $A$ ein, kann $B$ nicht eintreten, und umgekehrt.

Ein einfaches Beispiel ist ein Würfelwurf. „Das Ergebnis ist gerade“ und „Das Ergebnis ist ungerade“ schließen sich gegenseitig aus, denn eine Zahl kann nicht beides sein.

Für zwei sich ausschließende Ereignisse gilt:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

$Berechnungsbeispiel$ :

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder für $1$ oder $3$ .

$Lösung$ :

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Ereignis $A$ (gerade Zahlen): $A = \{2, 4, 6\}$
Ereignis $B$ (Zahlen $1$ oder $3$ ): $B = \{1, 3\}$

Schnittmenge prüfen: $A \cap B = \emptyset$ (leere Menge)

Da es keinen Schnittpunkt gibt, $schließen sich beide Ereignisse gegenseitig aus$ .

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Ereignisse mit Überschneidung

Ereignisse schließen sich $nicht gegenseitig aus$ , wenn sie im selben Versuch gemeinsam eintreten können. Ihre Schnittmenge ist nicht leer.

Beispielsweise schließen sich „eine rote Karte ziehen“ und „ein Ass ziehen“ nicht gegenseitig aus. Das Herz-Ass und das Karo-Ass erfüllen beide Bedingungen.

Für Ereignisse mit Überschneidung gilt:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Wir subtrahieren $P(A \cap B)$ , weil die Ergebnisse der Schnittmenge einmal in $P(A)$ und ein zweites Mal in $P(B)$ gezählt wurden.

$Berechnungsbeispiel$ :

Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte oder eine Bildkarte (Bube, Dame, König).

$Lösung$ :

Gesamtzahl der Karten $= 52$

Ereignis $A$ (rote Karten): $26 \text{ Karten}$ ( $13 \text{ Herz} + 13 \text{ Karo}$ )
Ereignis $B$ (Bildkarten): $12 \text{ Karten}$ ( $4 \text{ Buben} + 4 \text{ Damen} + 4 \text{ Könige}$ )

Schnittmenge (rote Bildkarten): $6 \text{ Karten}$ (Bube, Dame und König in Herz und Karo)

Farbe	Bildkarte	Keine Bildkarte	Gesamt
Rot	6	20	26
Schwarz	6	20	26
Gesamt	12	40	52

P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}

Unabhängige Ereignisse

Ein einfaches Beispiel sind zwei faire Münzen. Die Information, dass die erste Münze Kopf zeigt, ändert nichts an der zweiten: Die Wahrscheinlichkeit für Zahl bleibt $50\%$ .

Für unabhängige Ereignisse gilt:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

$Berechnungsbeispiel$ :

Zwei faire Würfel werden unabhängig voneinander geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Würfel $3$ und der zweite eine gerade Zahl zeigt.

$Lösung$ :

Ereignis $A$ (Zahl $3$ auf dem ersten Würfel): $1 \text{ Möglichkeit}$ von $6$
Ereignis $B$ (gerade Zahl auf zweitem Würfel): $\{2, 4, 6\} = 3 \text{ Möglichkeiten}$ von $6$

Da das Ergebnis des ersten Würfels keinen Einfluss auf den zweiten Würfel hat, sind beide Ereignisse unabhängig voneinander.

P(A) = \frac{1}{6}

Abhängige Ereignisse

Die folgende Multiplikationsregel gilt bei $P(A)>0$ sowohl für unabhängige als auch für abhängige Ereignisse:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Dabei bezeichnet $P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung, dass $A$ bereits eingetreten ist.

$Berechnungsbeispiel$ :

$Lösung$ :

Zu Beginn liegen $8 + 4 = 12 \text{ Kugeln}$ in der Schachtel.

Ereignis $A$ (erste Kugel blau): $8 \text{ blaue Kugeln}$ von insgesamt $12 \text{ Kugeln}$
Ereignis $B$ bedeutet eine blaue zweite Kugel. Unter der Bedingung $A$ : Nach $1 \text{ blauen Kugel}$ bleiben $7 \text{ blaue Kugeln}$ unter insgesamt $11 \text{ Kugeln}$

Da nicht zurückgelegt wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind daher abhängig.

P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Berechnungen mit Vereinigung und Schnittmenge

Vereinigung

Bei einem fairen Würfelwurf sind die ungeraden Zahlen $\{1,3,5\}$ und die Primzahlen $\{2,3,5\}$ . Ihre Vereinigung enthält vier verschiedene Ergebnisse.

A\cup B=\{1,2,3,5\},\qquad P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Schnittmenge

Für „Ereignis $A$ $UND$ Ereignis $B$ “ verwenden wir die Schnittmenge. Jedes gezählte Ergebnis muss beide Bedingungen erfüllen.

P(A\cap B)=\frac{10}{52}=\frac{5}{26}

Problemlösungsstrategie

$„oder“$ weist auf eine Vereinigung hin
$„und“$ weist auf eine Schnittmenge hin
$„ohne Zurücklegen“$ verlangt eine neue Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten
$„mit Zurücklegen“$ bewahrt oft die Unabhängigkeit, aber prüfe trotzdem, ob ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen wirklich nicht verändert

Prüfe anschließend, $ob beide Ereignisse gemeinsam eintreten können$ . Wähle erst dann die Formel und kontrolliere, ob eine Überschneidung doppelt gezählt würde.

Übungen

Bestimme bei einem Würfelwurf die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine ungerade Zahl.
Eine Schachtel enthält $6 \text{ rote Kugeln}$ und $4 \text{ weiße Kugeln}$ . Zwei Kugeln werden zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide rot sind.
Zwei Würfel werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihre Summe $7$ oder $11$ beträgt.
Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder eine schwarze Karte.

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Ergebnisraum: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , also $n(S) = 6$

Ereignis $A$ (Primzahlen): $A = \{2, 3, 5\}$ , also $n(A) = 3$
Ereignis $B$ (ungerade Zahlen): $B = \{1, 3, 5\}$ , also $n(B) = 3$

Schnittmenge von $A$ und $B$ : $A \cap B = \{3, 5\}$ , also $n(A \cap B) = 2$

Weil die Schnittmenge nicht leer ist, schließen sich die Ereignisse nicht aus. Wir verwenden daher die allgemeine Additionsregel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$Aufgabe 2$

Insgesamt liegen $6 + 4 = 10 \text{ Kugeln}$ in der Schachtel.

Ereignis $A$ (erste Kugel rot): $6 \text{ rote Kugeln}$ von insgesamt $10 \text{ Kugeln}$
Ereignis $B$ bedeutet eine rote zweite Kugel. Unter der Bedingung $A$ : Nach $1 \text{ roten Kugel}$ bleiben $5 \text{ rote Kugeln}$ unter insgesamt $9 \text{ Kugeln}$

Da $ohne Zurücklegen$ gezogen wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind abhängig.

P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

$Aufgabe 3$

Es gibt insgesamt $6 \times 6 = 36$ geordnete Würfelpaare.

Ereignis $A$ (Summe ist $7$ ): $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ → $6 \text{ Wege}$
Ereignis $B$ (Summe ist $11$ ): $(5,6)$ , $(6,5)$ → $2 \text{ Wege}$

Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, da die Würfelsumme nicht gleichzeitig $7$ und $11$ sein kann.

P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

$Aufgabe 4$

Gesamtzahl der Karten $= 52$

Ereignis $A$ (Asskarten): $4 \text{ Asse}$
Ereignis $B$ (schwarze Karten): $26 \text{ Karten}$ (Pik und Kreuz)

Schnittmenge (schwarze Asse): Pik-Ass und Kreuz-Ass ergeben $2 \text{ Karten}$

P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}