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Wird es heute regnen? Gewinnt eine Mannschaft ihr nächstes Spiel? Beides ist ungewiss. Mit einer Wahrscheinlichkeit können wir diese Unsicherheit trotzdem genau beschreiben.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen und :
Eine Wahrscheinlichkeit sagt kein einzelnes Ergebnis sicher voraus. Sie hilft uns vielmehr, viele Wiederholungen einzuschätzen und Entscheidungen zu treffen, bei denen die Unsicherheit sichtbar bleibt.
Bevor wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen, brauchen wir zwei Begriffe:
Der Ergebnisraum (S) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Werden zum Beispiel zwei Würfel geworfen, ist jedes Ergebnis ein geordnetes Paar von Augenzahlen.
Ein Ereignis (A) ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es enthält genau die Ergebnisse, die wir untersuchen möchten.
Konkretes Beispiel: Bei zwei Münzwürfen verwenden wir die üblichen Kürzel für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist . Das Ereignis „mindestens einmal Zahl“ lautet .
Für ein Ereignis mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwenden wir die klassische Wahrscheinlichkeitsformel:
dabei gilt:
Wichtige Bedingung: Diese Zählformel gilt nur, wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum gleich wahrscheinlich sind.
Grundlegende Eigenschaften:
Gegenereignis: Das Gegenereignis zu enthält jedes Ergebnis des Ergebnisraums, das nicht zu gehört. Bedeutet etwa „eine gerade Zahl würfeln“, so steht für „eine ungerade Zahl würfeln“.
Zwei Würfel untersuchen:
Zwei faire Würfel liefern gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe .
Systematische Lösung:
Zuerst sammeln wir alle Möglichkeiten für die Summe :
Damit gibt es günstige Ergebnisse.
Nun setzen wir die beiden Anzahlen in die Formel ein:
Wahrscheinlichkeitsbasierte Marketingstrategie:
Ein Getränkeunternehmen legt manchen Getränkekartons Gewinncoupons bei. Aus bisherigen Daten wird die Wahrscheinlichkeit, in einem gekauften Karton einen Gewinn zu finden, auf geschätzt.
Praktische Interpretation: Bei sehr vielen Käufen ist im Mittel in etwa von Kartons ein Gewinn zu erwarten. Diese Schätzung kann dem Unternehmen helfen:
Würfelsummen vergleichen:
Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe mehr günstige geordnete Paare als jede andere Summe:
Möglichkeiten für die Summe :
Das ist die größte Wahrscheinlichkeit unter allen möglichen Summen. Trotzdem muss der nächste Wurf nicht ergeben. Die Rechnung beschreibt das langfristige Modell, nicht den nächsten Einzelfall.
Versuchen Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Notieren Sie zuerst den Ergebnisraum und das Ereignis. Setzen Sie erst danach Zahlen in die Formel ein.
Bestimme beim Werfen zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe.
Eine Schachtel enthält , und . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist.
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten.
Eine Qualitätskontrolle findet genau fehlerhafte Produkte in einer Charge von . Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt?
Antwort:
Schrittweise Lösung:
Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat Ergebnisse.
Identifizieren Sie alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten:
Günstige Ergebnisse insgesamt:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Antwort:
Lösungsschritte:
Gesamtzahl der Kugeln: Kugeln
Antwort:
Lösungsschritte:
Ergebnisraum für drei Münzwürfe:
Antwort: oder
Lösungsschritte:
Gesamtmenge:
Fehlerhafte Produkte:
Nicht rote Kugeln: Kugeln
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Gesamtmöglichkeiten:
Ereignis „genau zweimal Zahl“:
Anzahl der günstigen Ergebnisse:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Fehlerfreie Produkte:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Interpretation: Ein zufällig gekauftes Exemplar ist mit einer Wahrscheinlichkeit von fehlerfrei. Das ist eine Aussage über das Zufallsmodell, keine Garantie für einen einzelnen Kauf.
