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In einem endlichen Ergebnisraum mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen bedeuten die Wahrscheinlichkeitswerte:
Eine Wahrscheinlichkeit sagt kein einzelnes Ergebnis sicher voraus. Sie beschreibt, wie häufig ein Ergebnis bei vielen Wiederholungen zu erwarten ist, und gibt an, wie sicher oder unsicher eine Entscheidung ist.
Bevor wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen, brauchen wir zwei Begriffe:
Der Ergebnisraum (S) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Werden zum Beispiel zwei Würfel geworfen, ist jedes Ergebnis ein geordnetes Paar von Augenzahlen.
Ein Ereignis (A) ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es enthält genau die Ergebnisse, die wir untersuchen möchten.
Konkretes Beispiel: Bei zwei Münzwürfen verwenden wir die üblichen Kürzel für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist . Das Ereignis „mindestens einmal Zahl“ lautet .
Für ein Ereignis mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwenden wir die klassische Wahrscheinlichkeitsformel:
Die Größen in dieser Formel bedeuten:
Bedingung: Diese Zählformel gilt nur, wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum gleich wahrscheinlich sind.
Grundlegende Eigenschaften:
Gegenereignis: Das Gegenereignis zu enthält jedes Ergebnis des Ergebnisraums, das nicht zu gehört. Bedeutet etwa „eine gerade Zahl würfeln“, so steht für „eine ungerade Zahl würfeln“.
Zwei Würfel untersuchen:
Zwei unabhängig geworfene faire Würfel liefern gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe .
Liste die geordneten Paare mit Summe neun auf. Werden die Augenzahlen des ersten und zweiten Würfels vertauscht, entsteht ein anderes Versuchsergebnis.
| Erster Würfel | Zweiter Würfel | Summe |
|---|---|---|
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 5 | 9 |
| 5 | 4 | 9 |
| 6 | 3 | 9 |
Vier Paare erfüllen die Bedingung, also gilt .
Angenommen, ein Getränkeunternehmen legt manchen Getränkekartons Gewinncoupons bei. In diesem Werbemodell beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn in einem gekauften Karton .
Bei vielen Käufen wird ein Anteil von ungefähr Gewinnkartons erwartet. Bei Käufen beträgt die erwartete Couponanzahl
Dieser Erwartungswert hilft beim Schätzen der Gewinnkosten. Er ist keine garantierte Couponanzahl für eine einzelne Gruppe von Käufen.
Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe mehr günstige geordnete Paare als jede andere Summe:
Es gibt Möglichkeiten für die Summe : , , , , , .
Das ist die größte Wahrscheinlichkeit unter allen möglichen Summen. Trotzdem muss der nächste Wurf nicht ergeben. Die Rechnung beschreibt, wie sich die Ergebnisse über viele Würfe verteilen. Sie legt den nächsten einzelnen Wurf nicht fest.
Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Notiere zuerst den Ergebnisraum und das Ereignis. Setze erst danach Zahlen in die Formel ein.
Bestimme beim unabhängigen Werfen zweier fairer Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe.
Eine Schachtel enthält , und . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist.
Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten.
Eine Qualitätskontrolle findet genau fehlerhafte Produkte in einer Charge von . Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt?
Aufgabe 1
Schrittweise Lösung:
Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat Ergebnisse.
Identifiziere alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten:
Günstige Ergebnisse insgesamt:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Aufgabe 2
Lösungsschritte:
Gesamtzahl der Kugeln: Kugeln
Nicht rote Kugeln: Kugeln
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Aufgabe 3
Lösungsschritte:
Ergebnisraum für drei Münzwürfe:
Gesamtmöglichkeiten:
Ereignis „genau zweimal Zahl“:
Anzahl der günstigen Ergebnisse:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Aufgabe 4
oder
Lösungsschritte:
Gesamtmenge:
Fehlerhafte Produkte:
Fehlerfreie Produkte:
Wahrscheinlichkeitsberechnung:
Interpretation: Bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl aus dieser Charge beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt . Diese Aussage gilt für das Zufallsmodell und für die gesamte Charge, während ein einzelnes Produkt davon abweichen kann.
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