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Ein Formular mit mehreren Feldern folgt demselben Muster. Jedes Feld ist eine Stelle und jeder zulässige Eintrag eine Möglichkeit. Das Produkt dieser Anzahlen ergibt die Zahl der gültigen vollständig ausgefüllten Formulare.
Die Tabellenmethode listet jede Kombination auf. Die Zeilen stehen für Möglichkeiten aus einer Kategorie und die Spalten für Möglichkeiten aus einer anderen.
Ein Schüler möchte ein Online-Lernpaket auswählen. Es gibt drei Plattformen (Plattform A, Plattform B, Plattform C) und vier Fächer (Mathematik, Physik, Chemie, Biologie).
Die Tabelle enthält alle möglichen Kombinationen:
| Plattform | Mathematik | Physik | Chemie | Biologie |
|---|---|---|---|---|
| Plattform A | A-Mathe | A-Phys | A-Chem | A-Bio |
| Plattform B | B-Mathe | B-Phys | B-Chem | B-Bio |
| Plattform C | C-Mathe | C-Phys | C-Chem | C-Bio |
In einem Baumdiagramm steht jeder Zweig für eine Auswahl. Ein vollständiger Pfad vom Startpunkt bis zu einem Endpunkt entspricht einem vollständigen Ergebnis.
Für dasselbe Lernpaket wählen die ersten Zweige die Plattform und die nächsten Zweige das Fach.
Von jeder Plattform gehen vier Fachzweige aus. Damit wählt jeder vollständige Pfad genau eine Plattform und ein Fach. Der Pfad Start → Plattform A → Physik bedeutet zum Beispiel Plattform A für Physik.
Die Produktregel liefert dieselbe Anzahl, ohne jedes Ergebnis einzeln aufzulisten. Gibt es Stellen und hat Stelle genau gültige Möglichkeiten, dann ist die Anzahl der vollständigen Ergebnisse:
Für die erste Stelle ist die Anzahl der Möglichkeiten fest. Für jede weitere Stelle muss diese Anzahl bei jeder zulässigen bisherigen Auswahl gleich sein, auch wenn andere Möglichkeiten übrig bleiben. Unterscheiden sich die Anzahlen der Zweige, zählst du die Zweiggruppen getrennt und addierst sie.
Eine Schule möchte Zugangscodes für digitale Lernsysteme erstellen. Der Code hat drei aufeinanderfolgende Stellen:
Wir multiplizieren die Möglichkeiten der drei Stellen:
Einschränkungen können die Zahl der Möglichkeiten von einer Stelle zur nächsten verändern. Prüfe für jede Stelle, ob eine frühere Wahl eine Option entfernt, denn davon hängt ab, ob die Faktoren gleich bleiben. Die Beispiele unten rechnen beide Fälle durch.
Wenn dasselbe Objekt nicht wiederholt verwendet werden darf, verringert jede besetzte Stelle die Auswahl für die nächste Stelle.
Beispiel: Bildung einer Zahl aus den Ziffern ohne Wiederholung.
Für die erste Stelle gibt es Möglichkeiten. Ist Ziffer verwendet, bleiben Möglichkeiten für die zweite Stelle. Nach verwendeten Ziffern gibt es für die dritte Stelle noch Möglichkeiten.
Wenn dasselbe Objekt wiederholt verwendet werden darf, bleibt die Zahl der Möglichkeiten an jeder Stelle gleich.
Für den gleichen Fall mit erlaubter Wiederholung:
Jede Aufgabe besetzt mehrere Plätze nacheinander. Zähle die Möglichkeiten für einen Platz, multipliziere sie und achte auf die Aufgabe ohne Wiederholung.
Ein Elektronikgeschäft verkauft Smartphones von Marken. Jede Marke ist mit Speicherkapazitäten und in Farben erhältlich. Wie viele verschiedene Ausführungen gibt es?
Ein Passwort besteht aus Buchstaben und danach Ziffern. Der Buchstabe wird aus A, B, C, D gewählt, die Ziffern ohne Wiederholung aus . Wie viele Passwörter sind möglich?
Eine Fahrt von Stadt nach Stadt führt über Stadt . Von nach gibt es Straßen und von nach gibt es Straßen. Wie viele verschiedene Routen sind möglich?
Ein Kennzeichen besteht aus Buchstaben und danach Ziffern. Es stehen Buchstaben und die Ziffern zur Verfügung. Wiederholungen sind erlaubt. Wie viele Kennzeichen sind möglich?
Aufgabe 1. Jede Marke lässt sich mit jeder Speicherkapazität und Farbe kombinieren. Deshalb werden die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten multipliziert.
Gegeben: , ,
Die Anzahl der Smartphone-Kombinationen beträgt:
Aufgabe 2
Gegeben: aus , aus ohne Wiederholung
Für den Buchstaben gibt es Möglichkeiten und für die erste Ziffer . Da sich die Ziffern nicht wiederholen dürfen, bleiben für die zweite Ziffer Möglichkeiten.
Aufgabe 3. Auf jede Straße im ersten Abschnitt kann jede Straße im zweiten Abschnitt folgen. Mit der Produktregel zählen wir die vollständigen Routen.
Gegeben: von bis , von bis
Aufgabe 4
Gegeben: aus , aus , Wiederholung erlaubt
Für den zweiten Buchstaben gibt es Möglichkeiten.
Damit ergibt sich folgende Gesamtzahl an Nummernschildern:
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