Addition komplexer Zahlen

Realteile und Imaginärteile getrennt addieren

Beginne mit zwei komplexen Zahlen:

z_1 = x_1 + iy_1

Für die Summe $z_1 + z_2$ werden $die Realteile und die Imaginärteile jeweils miteinander addiert$ .

z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)

Zwei bestimmte komplexe Zahlen addieren

Seien $z_1 = 2 + 3i$ und $z_2 = 1 - i$ .

Der $Realteil$ von $z_1$ ist $2$ , der Realteil von $z_2$ ist $1$ .
Der $Imaginärteil$ von $z_1$ ist $3$ , der Imaginärteil von $z_2$ ist $-1$ .

Dann ist ihre Summe:

\begin{aligned} z_1 + z_2 &= (2 + 1) + i(3 + (-1)) \\ &= 3 + i(2) \\ &= 3 + 2i \end{aligned}

Addition in der komplexen Ebene

In der komplexen Ebene lässt sich die Addition mit der $Parallelogrammregel$ deuten. Stellen wir $z_1$ und $z_2$ als Vektoren vom Ursprung $(0, 0)$ dar, dann bildet ihre Summe $z_1 + z_2$ die Diagonale des Parallelogramms, das $z_1$ und $z_2$ aufspannen.

Geometrische Addition komplexer Zahlen

Die Vektoren

z_1=2+3i

und

z_2=1-i

spannen ein Parallelogramm auf. Seine Diagonale stellt ihre Summe dar.

Skalieren Negieren und Subtrahieren

Dieselbe Trennung von $Real- und Imaginärteil$ hilft auch bei weiteren Rechenoperationen. Die Multiplikation mit einer reellen Zahl skaliert beide Teile, die Negation dreht beide Vorzeichen um, und die Subtraktion verbindet Negation mit Addition. Jede Regel wirkt auf beide Teile getrennt, deshalb musst du sie nie vermischen.

Skalare Multiplikation

Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl $z = x + iy$ mit einem reellen Skalar $c$ werden $beide Teile mit demselben Skalar$ multipliziert.

cz = c(x + iy) = cx + i(cy)

Geometrisch wird der Vektor $z$ dadurch in seiner Länge um den Faktor $|c|$ gestreckt oder gestaucht. Ist $c$ negativ, kehrt sich zusätzlich seine Richtung um.

Beim Skalar null werden beide Komponenten null. Der $Nullvektor$ hat keine Richtung.

Gegenzahl einer komplexen Zahl

Die Gegenzahl zu $z = x + iy$ ist $-z$ . Sie entsteht durch Skalarmultiplikation mit $c = -1$ .

\begin{aligned} -z &= -(x + iy) \\ &= -x + i(-y) \\ &= -x - iy \end{aligned}

Für $z\ne0$ hat der Vektor $-z$ dieselbe Länge wie $z$ , zeigt aber in die $entgegengesetzte Richtung$ . Das entspricht einer Drehung um $180^\circ$ .

Subtraktion zweier komplexer Zahlen

Wird $z_2$ von $z_1$ subtrahiert, entsteht $z_1 - z_2$ . Das entspricht der Addition von $z_1$ mit der $Gegenzahl$ von $z_2$ , also $z_1 + (-z_2)$ .

\begin{aligned} &z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) \\ &= (x_1 + (-x_2)) + i(y_1 + (-y_2)) \\ &= (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2) \end{aligned}

Damit werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils voneinander subtrahiert.

Geometrisch ist $z_1 - z_2$ der Vektor von der Spitze von $z_2$ zur Spitze von $z_1$ .

Addition Subtraktion und Skalierung verbinden

Verwende die folgenden beiden Zahlen:

z_1 = 2 + \frac{1}{2}i

Berechne drei Ausdrücke, indem du $Realteil und Imaginärteil getrennt$ behandelst:

$2z_1$ ( $Skalarmultiplikation$ ):

$\begin{aligned} 2z_1 &= 2(2 + \frac{1}{2}i) \\ &= 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) \\ &= 4 + i \end{aligned}$
$z_1 + 3z_2$ ( $Addition und Skalarmultiplikation$ ):

$\begin{aligned}z_1+3z_2&=(2+\frac12i)+3(-3+\sqrt2i)\\&=(2-9)+i(\frac12+3\sqrt2)\\&=-7+i(\frac12+3\sqrt2)\end{aligned}$
$2z_1 - z_2$ ( $Subtraktion und Skalarmultiplikation$ ):

$\begin{aligned}2z_1-z_2&=(4+i)-(-3+\sqrt2i)\\&=(4-(-3))+i(1-\sqrt2)\\&=7+i(1-\sqrt2)\end{aligned}$

Übung

Berechne $Summe und Differenz$ . Die Komponenten der Summe sind die Koordinaten des Endpunkts der Diagonale. Das Minuszeichen bei der Subtraktion gilt für die gesamte zweite Zahl, also auch für ihren Imaginärteil.

Gegeben sind $z_1=1+2i$ und $z_2=3-i$ . Bestimme:

$z_1 + z_2$
$z_1 - z_2$
Zeichne für $z_3=z_1+z_2$ die Vektoren $z_1$ , $z_2$ und $z_3$ in die komplexe Ebene.

Lösung

Addiere und subtrahiere die entsprechenden Teile und lies die Summe anschließend als $Diagonale$ in der komplexen Ebene.

Für die Summe werden Real- und Imaginärteile addiert:

$\begin{aligned} z_1+z_2 &=(1+3)+i(2+(-1)) \\ &=4+i \end{aligned}$
Für die Differenz werden die entsprechenden Teile subtrahiert:

$\begin{aligned} z_1-z_2 &=(1-3)+i(2-(-1)) \\ &=-2+3i \end{aligned}$
Die Vektoren $z_1$ und $z_2$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine Diagonale endet bei $z_3=z_1+z_2=4+i$ :

Addition komplexer Zahlen
Die Vektoren $z_1$ und $z_2$ bilden die Seiten des Parallelogramms. $z_3=z_1+z_2$ ist seine Diagonale.