Komplexe Zahlen verstehen

Bei $x^2 + 1 = 0$ ist das anders. Die Gleichung verlangt $x^2 = -1$, doch das Quadrat jeder reellen Zahl ist nichtnegativ. Deshalb besitzt sie keine reelle Lösung.

Die komplexen Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem, sodass auch solche Gleichungen lösbar werden.

Imaginäre Zahlen

Die imaginäre Einheit wird mit $i$ bezeichnet und durch die Gleichung

definiert. Mit der Konvention der Hauptwurzel schreibt man dafür auch

Für eine nichtnegative reelle Zahl $a$ ist die Hauptwurzel von $-a$ gleich $i\sqrt{a}$. Zum Beispiel:

Zahlen wie $2i$ und $3i$ werden rein imaginäre Zahlen genannt.

Allgemeine Form

Komplexe Zahlen werden im Allgemeinen in der Form $z = a + bi$ geschrieben, wobei:

• $a=\operatorname{Re}(z)$ ist der Realteil.
• $b=\operatorname{Im}(z)$ ist der Imaginärteil.
• $i$ ist die imaginäre Einheit ($\sqrt{-1}$ ).

Sowohl $a$ als auch $b$ sind reelle Zahlen. Der Ausdruck $bi$ ist der imaginäre Term, sein Koeffizient $b$ ist der Imaginärteil.

Beispiele

Betrachten wir einige Beispiele und bestimmen wir jeweils Real- und Imaginärteil:

1. $2 + 3i$

   • Realteil ($a$): $2$
   • Imaginärteil ($b$): $3$

2. $5 - 4i$ Dies ist dasselbe wie $5 + (-4)i$.

   • Realteil ($a$): $5$
   • Imaginärteil ():

3. $\sqrt{2}$ Dies ist eine gewöhnliche reelle Zahl, kann aber auch als komplexe Zahl mit einem Imaginärteil von $0$ betrachtet werden. Seine Form ist $\sqrt{2} + 0i$.

4. $-7i$ Dies ist eine rein imaginäre Zahl. Seine Form ist $0 + (-7)i$.

   • Realteil ($a$): $0$
   • Imaginärteil ($b$):

Übung

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

1. $2 + \sqrt{(-2)^2}$
2. $2 + i^2$
3. $1 + \sqrt{-9}$
4. $1 + 2i$

Ausführliche Lösungen

1. $2 + \sqrt{(-2)^2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$.

   Dies kann als $4 + 0i$ geschrieben werden.

   • Realteil: $4$
   • Imaginärteil: $0$

2. $2 + i^2 = 2 + (-1) = 1$.

   Dies kann als $1 + 0i$ geschrieben werden.

3. $1 + \sqrt{-9} = 1 + 3i$.

   Dies kann als $1 + 3i$ geschrieben werden.

4. $1 + 2i$.

   Dies kann als $1 + 2i$ geschrieben werden.

   • Realteil: $1$
   • Imaginärteil: $2$

• Realteil ($a$): $\sqrt{2}$
• Imaginärteil ($b$): $0$

• Realteil: $1$
• Imaginärteil: $0$

• Realteil: $1$
• Imaginärteil: $3$