Addition komplexer Zahlen

Für die Summe $z_1 + z_2$ werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils miteinander addiert.

Additionsbeispiel

Seien $z_1 = 2 + 3i$ und $z_2 = 1 - i$.

• Der Realteil von $z_1$ ist $2$, der Realteil von $z_2$ ist $1$.
• Der Imaginärteil von $z_1$ ist $3$, der Imaginärteil von $z_2$ ist $-1$.

Dann ist ihre Summe:

Visualisierung der Addition

In der komplexen Ebene lässt sich die Addition mit der Parallelogrammregel deuten. Stellen wir $z_1$ und $z_2$ als Vektoren vom Ursprung $(0, 0)$ dar, dann bildet ihre Summe $z_1 + z_2$ die Diagonale des Parallelogramms, das $z_1$ und $z_2$ aufspannen.

Verwandte Rechenoperationen

Dieselbe Trennung von Real- und Imaginärteil hilft auch bei weiteren Rechenoperationen.

Skalare Multiplikation

Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl $z = x + iy$ mit einem reellen Skalar $c$ wird jeder der beiden Teile mit diesem Skalar multipliziert.

Geometrisch wird der Vektor $z$ dadurch um den Faktor $c$ gestreckt oder gestaucht. Ist $c$ negativ, kehrt sich zusätzlich seine Richtung um.

Gegenzahl einer komplexen Zahl

Die Gegenzahl zu $z = x + iy$ ist $-z$. Sie entsteht durch Skalarmultiplikation mit $c = -1$.

Der Vektor $-z$ hat dieselbe Länge wie $z$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Das entspricht einer Drehung um $180^\circ$.

Subtraktion zweier komplexer Zahlen

Wird $z_2$ von $z_1$ subtrahiert, entsteht $z_1 - z_2$. Das entspricht der Addition von $z_1$ mit der Gegenzahl von $z_2$, also $z_1 + (-z_2)$.

Damit werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils voneinander subtrahiert.

Geometrisch ist $z_1 - z_2$ der Vektor von der Spitze von $z_2$ zur Spitze von $z_1$.

Beispiel für kombinierte Operationen

Gegeben sind:

Nun werden drei kombinierte Ausdrücke berechnet:

1. $2z_1$ (Skalarmultiplikation):

   $$2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i$$

2. $z_1 + 3z_2$ (Addition und Skalarmultiplikation):

   $$z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)$$

3. $2z_1 - z_2$ (Subtraktion und Skalarmultiplikation):

   $$2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)$$

Übung

Gegeben sind $z_1=1+2i$ und $z_2=3-i$. Bestimme:

1. $z_1 + z_2$
2. $z_1 - z_2$
3. Zeichne für $z_3=z_1+z_2$ die Vektoren $z_1$, und in die komplexe Ebene.

Lösung

1. Für die Summe werden Real- und Imaginärteile addiert:

   $$z_1+z_2=(1+3)+i(2+(-1))=4+i$$

2. Für die Differenz werden die entsprechenden Teile subtrahiert:

   $$z_1-z_2=(1-3)+i(2-(-1))=-2+3i$$

3. Die Vektoren $z_1$ und $z_2$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine Diagonale endet bei $z_3=z_1+z_2=4+i$: