Betrag und Argument komplexer Zahlen

Länge und Richtung in der komplexen Ebene

Eine komplexe Zahl $z = x + iy$ kann als Punkt $(x, y)$ auf der komplexen Ebene (ähnlich der kartesischen Ebene) dargestellt werden. Abgesehen davon, dass es sich um einen Punkt handelt, können wir ihn auch als Vektor betrachten, der vom Ursprung $(0, 0)$ bis zum Punkt $(x, y)$ beginnt.

Dieser Vektor hat eine Länge und eine Richtung. Die Länge heißt Betrag, die Richtung wird durch das Argument beschrieben.

Am Ursprung ist der Betrag null, aber das Argument ist nicht definiert, weil der Nullvektor keine Richtung hat.

Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag einer komplexen Zahl $z = x + iy$, geschrieben als $|z|$, ist der Abstand vom Ursprung $(0,0)$ zum Punkt $(x, y)$ in der komplexen Ebene. Er ist zugleich die Länge des Vektors, der $z$ darstellt.

Zur Berechnung des Betrags verwenden wir den Satz des Pythagoras. Die Kathetenlängen sind $|x|$ und $|y|$. Der Betrag $|z|$ ist die Hypotenusenlänge.

Definition des Betrags:

Der Betrag der komplexen Zahl $z = x + iy$ ist:

Als Länge ist der Betrag stets nicht negativ.

Berechnung des Betrags

Quadriere beide Komponenten mit ihren Vorzeichen, addiere die Quadrate und ziehe die nichtnegative Wurzel. Eine negative Komponente macht den Abstand nicht negativ.

1. $z_1 = 3 + 4i$ mit $x=3, y=4$

   $$\begin{aligned} |z_1| &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}$$

2. $z_2 = -1 - 2i$ mit $x=-1, y=-2$

   $$\begin{aligned} |z_2| &= \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}$$

3. $z_3 = 5$ mit $x=5, y=0$

   $$|z_3| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$$

   Der Betrag einer reellen Zahl stimmt mit ihrem Absolutwert überein.

4. $z_4 = -2i$ mit $x=0, y=-2$

   $$|z_4| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

Argument einer komplexen Zahl

Das Argument einer von Null verschiedenen komplexen Zahl $z = x + iy$, geschrieben als $\arg(z)$ oder $\theta$, ist der Winkel, den der Vektor $z$ mit der positiven reellen Achse auf der komplexen Ebene bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.

Aus der Trigonometrie am selben rechtwinkligen Dreieck folgen die Beziehungen:

Wenn $x$ und $y$ beide ungleich null sind, berechnen wir zuerst den positiven Bezugswinkel:

Der Quotient $|y/x|$ ist positiv und endlich. Deshalb gilt $0^\circ<\alpha<90^\circ$ für den Bezugswinkel: Er ist spitz.

Die Vorzeichen von $x$ und $y$ bestimmen den Quadranten. Damit wird der Bezugswinkel in das Hauptargument im Intervall $(-180^\circ, 180^\circ]$ überführt:

Punkte auf einer Achse benötigen keinen Quotienten $y/x$. Ihre Richtung lässt sich direkt ablesen:

Berechnung des Arguments

Bestimme für jeden Punkt zuerst den Quadranten, berechne dann den Bezugswinkel $\alpha$ aus $|y/x|$ und wende danach die Quadrantenregel von oben an.

1. $z_1 = 1 + i$

   Der Punkt $(1, 1)$ liegt im Quadranten $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

   $$\begin{aligned} \theta &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \text{ oder } \frac{\pi}{4} \text{ Bogenmaß} \end{aligned}$$
2. $z_2 = -\sqrt{3} + i$

   Der Punkt $(-\sqrt{3}, 1)$ liegt im Quadranten $II$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}}$$

   $$\begin{aligned} \text{Basiswinkel} &= \arctan\left(\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|\right) \\ &= \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ &= 30^\circ \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \theta &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ \text{ oder } \frac{5\pi}{6} \text{ Bogenmaß} \end{aligned}$$

   Der Quadrant $II$ liegt oberhalb der negativen reellen Achse. Deshalb wird der Bezugswinkel von $180^\circ$ abgezogen.

3. $z_3 = -1 - i\sqrt{3}$

   Der Punkt $(-1, -\sqrt{3})$ liegt im Quadranten $III$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$$

   $$\text{Basiswinkel} = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$$

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_3) &= -180^\circ + 60^\circ \\ &= -120^\circ \\ &= -\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

   Der Quadrant $III$ liegt unterhalb der negativen reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.

4. $z_4 = 3 - 3i$

   Der Punkt $(3, -3)$ liegt im Quadranten $IV$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-3}{3} = -1$$

   $$\begin{aligned} \text{Basiswinkel} &= \arctan(|-1|) \\ &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \end{aligned}$$

   $$\text{Arg}(z_4) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}$$

   Der Quadrant $IV$ liegt unterhalb der positiven reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.

Zwischen kartesischer Form und Polarform wechseln

Betrag und Argument bestimmen die Polarform einer komplexen Zahl. Für die kartesische Form multiplizierst du den Betrag mit Kosinus und Sinus des Winkels. An derselben Zahl kannst du beide Umrechnungen prüfen.

Aus der kartesischen Form:

Aus der Polarform:

Übung

Bestimme Betrag und Hauptargument (in Grad) der folgenden komplexen Zahlen. Berechne für jede Zahl zuerst den Abstand zum Ursprung und wähle danach den Winkel innerhalb von $(-180^\circ, 180^\circ]$.

1. $z_a = 2 + 2i$
2. $z_b = -4$
3. $z_c = -i$

Ausführliche Lösungen

Verwende den Abstand für den Betrag und die Lage des Punktes für das Argument. Punkte auf negativen Achsen benötigen andere Winkel als ein Punkt im ersten Quadranten.

1. $z_a = 2 + 2i$:

   $x=2, y=2$ (Quadrant $I$), Betrag:

   $$\begin{aligned} |z_a| &= \sqrt{2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{4+4} \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

   Argument:

   $$\tan\theta=\frac22=1$$

   Da der Punkt im Quadranten $I$ liegt, ist sein Hauptargument spitz:

   $$\theta=\arctan(1)=45^\circ$$

2. $z_b = -4$:

   $z_b = -4 + 0i$. $x=-4, y=0$ (Negativ reelle Achse), Betrag:

   $$|z_b| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

   Argument: Der Punkt liegt auf der negativen reellen Achse.

   $$\theta = 180^\circ$$

3. $z_c = -i$:

   $z_c = 0 - 1i$. $x=0, y=-1$ (Negativ imaginäre Achse), Betrag:

   $$|z_c| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   Argument: Der Punkt liegt auf der negativen imaginären Achse.

   $$\text{Arg}(z_c) = -90^\circ$$