Multiplikation komplexer Zahlen

Die Produktformel durch Ausmultiplizieren herleiten

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ähnelt der Multiplikation zweier binomialer algebraischer Ausdrücke. Wir können $die Verteilungseigenschaft der Multiplikation$ über die Addition nutzen.

Wir beginnen mit $z_1 = x_1 + iy_1$ und $z_2 = x_2 + iy_2$ und verteilen jeden Summanden des ersten Faktors auf den zweiten.

Ersetze das $Quadrat der imaginären Einheit$ durch minus eins und fasse Real- und Imaginärterme zusammen. Das Produkt zweier Imaginärterme trägt zum Realteil bei, nicht zum Imaginärteil:

\begin{aligned}z_1z_2&=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2) \\ &=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1+i^2y_1y_2 \\ &=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)\end{aligned}

Zwei Rechenwege für dasselbe Produkt

Seien $z_1 = 2+i$ und $z_2 = 1-2i$ . Berechne $z_1 \times z_2$ .

$Lösung$ :

Mit dem $Distributivgesetz$ :

\begin{aligned}z_1z_2&=(2+i)(1-2i) \\ &=2-4i+i-2i^2 \\ &=2+2+(-4+1)i=4-3i\end{aligned}

Das Produkt liegt in der komplexen Ebene bei $(4,-3)$ . $Multipliziere die Koordinaten nicht einzeln$ . Die Rechnung $(2\cdot1,1\cdot(-2))=(2,-2)$ beschreibt keine komplexe Multiplikation. Sie lässt die gemischten Terme und den Vorzeichenwechsel durch das Quadrat der imaginären Einheit aus.

z_1z_2=(2\cdot1-1\cdot(-2))+i(2\cdot(-2)+1\cdot1)=4-3i

Visualisierung der Multiplikation komplexer Zahlen

Die Vektoren

z_1 = 2+i

und

z_2 = 1-2i

sowie ihr Produkt

z_1 \times z_2 = 4-3i

Übung

Diese Aufgabe multipliziert zwei komplexe Zahlen, eine in Normalform und eine mit gebrochenem Realteil. Multipliziere mit dem $Distributivgesetz$ aus, ersetze $i^2$ durch $-1$ und fasse Real- und Imaginärteil zusammen.

Seien $z_1 = 1+i$ und $z_2 = \frac{1}{2} - 2i$ . Berechne $z_1 \times z_2$ .

Ausführliche Lösung

Mit dem $Distributivgesetz$ :

\begin{aligned}(1+i)\left(\frac12-2i\right)&=\frac12-2i+\frac12i-2i^2 \\ &=\left(\frac12+2\right)+\left(-2+\frac12\right)i \\ &=\left(\frac12+\frac42\right)+\left(-\frac42+\frac12\right)i \\ &=\frac52-\frac32i\end{aligned}

Die Produktformel durch Ausmultiplizieren herleiten

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ähnelt der Multiplikation zweier binomialer algebraischer Ausdrücke. Wir können

die Verteilungseigenschaft der Multiplikation

über die Addition nutzen.

Wir beginnen mit

z_1 = x_1 + iy_1

und

z_2 = x_2 + iy_2

und verteilen jeden Summanden des ersten Faktors auf den zweiten.

Ersetze das

Quadrat der imaginären Einheit

durch minus eins und fasse Real- und Imaginärterme zusammen. Das Produkt zweier Imaginärterme trägt zum Realteil bei, nicht zum Imaginärteil:

\begin{aligned}z_1z_2&=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2) \\ &=x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1+i^2y_1y_2 \\ &=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)\end{aligned}

Zwei Rechenwege für dasselbe Produkt

Seien

z_1 = 2+i

und

z_2 = 1-2i

. Berechne

z_1 \times z_2

Lösung

Mit dem

Distributivgesetz

\begin{aligned}z_1z_2&=(2+i)(1-2i) \\ &=2-4i+i-2i^2 \\ &=2+2+(-4+1)i=4-3i\end{aligned}

Das Produkt liegt in der komplexen Ebene bei

(4,-3)

Multipliziere die Koordinaten nicht einzeln

. Die Rechnung

(2\cdot1,1\cdot(-2))=(2,-2)

beschreibt keine komplexe Multiplikation. Sie lässt die gemischten Terme und den Vorzeichenwechsel durch das Quadrat der imaginären Einheit aus.

z_1z_2=(2\cdot1-1\cdot(-2))+i(2\cdot(-2)+1\cdot1)=4-3i

Visualisierung der Multiplikation komplexer Zahlen

Die Vektoren

z_1 = 2+i

und

z_2 = 1-2i

sowie ihr Produkt

z_1 \times z_2 = 4-3i

Übung

Diese Aufgabe multipliziert zwei komplexe Zahlen, eine in Normalform und eine mit gebrochenem Realteil. Multipliziere mit dem

Distributivgesetz

aus, ersetze

i^2

durch

-1

und fasse Real- und Imaginärteil zusammen.

Seien

z_1 = 1+i

und

z_2 = \frac{1}{2} - 2i

. Berechne

z_1 \times z_2

Mit dem

Distributivgesetz

\begin{aligned}(1+i)\left(\frac12-2i\right)&=\frac12-2i+\frac12i-2i^2 \\ &=\left(\frac12+2\right)+\left(-2+\frac12\right)i \\ &=\left(\frac12+\frac42\right)+\left(-\frac42+\frac12\right)i \\ &=\frac52-\frac32i\end{aligned}

z_1z_2=\left(1\cdot\frac12-1\cdot(-2)\right)+i\left(1\cdot(-2)+\frac12\cdot1\right)=\frac52-\frac32i