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Eine komplexe Zahl kann als Punkt auf der komplexen Ebene (ähnlich der kartesischen Ebene) dargestellt werden. Abgesehen davon, dass es sich um einen Punkt handelt, können wir ihn auch als betrachten, der vom Ursprung bis zum Punkt beginnt.
Dieser Vektor hat eine Länge und eine Richtung. Die Länge heißt Betrag, die Richtung wird durch das Argument beschrieben.
Der Betrag einer komplexen Zahl , geschrieben als , ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt in der komplexen Ebene. Er ist zugleich die Länge des Vektors, der darstellt.
Zur Berechnung des Betrags verwenden wir den Satz des Pythagoras. Die Kathetenlängen sind durch den Realteil und den Imaginärteil gegeben; der Betrag ist die Hypotenusenlänge.
Definition des Betrags:
Der Betrag der komplexen Zahl ist:
Als Länge ist der Betrag stets nicht negativ.
Bestimme den Betrag von mit
Bestimme den Betrag von mit
Bestimme den Betrag von mit
Bestimme den Betrag von mit
Das Argument einer von Null verschiedenen komplexen Zahl , geschrieben als oder , ist der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse auf der komplexen Ebene bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.
Aus der Trigonometrie am selben rechtwinkligen Dreieck folgen die Beziehungen:
Wenn und beide ungleich null sind, berechnen wir zuerst den positiven Bezugswinkel:
Die Vorzeichen von und bestimmen den Quadranten. Damit wird der Bezugswinkel in das Hauptargument im Intervall überführt:
Quadrant ():
Quadrant ():
Quadrant ():
Quadrant ():
Punkte auf einer Achse benötigen keinen Quotienten . Ihre Richtung lässt sich direkt ablesen:
Bestimme das Hauptargument von
Der Punkt liegt im Quadranten .
Bestimme das Hauptargument von
Der Punkt liegt im Quadranten .
Bestimme das Hauptargument von
Bestimme das Hauptargument von
Der Punkt liegt im Quadranten .
Bestimme Betrag und Hauptargument (in Grad) der folgenden komplexen Zahlen:
Für :
(Quadrant ), Betrag:
Argument:
Für :
. (Negativ reelle Achse), Betrag:
Für :
. (Negativ imaginäre Achse), Betrag:
Der Betrag einer reellen Zahl stimmt mit ihrem Absolutwert überein.
Der Quadrant liegt oberhalb der negativen reellen Achse. Deshalb wird der Bezugswinkel von abgezogen.
Der Punkt liegt im Quadranten .
Der Quadrant liegt unterhalb der negativen reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
Der Quadrant liegt unterhalb der positiven reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen reellen Achse.
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen imaginären Achse.
