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Komplexe Zahlen

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Kartesische Form (rechteckig)

Eine komplexe Zahl hat die Form $z = x + iy$ , wobei der Realteil und der Imaginärteil ist. Diese Form wird als oder rechteckige Form bezeichnet.

Darstellungsformen komplexer ZahlenKartesische, polare und exponentielle Form komplexer Zahlen sowie die sichere Umrechnung zwischen diesen Darstellungen.

Auf dieser Seite

Kartesische Form (rechteckig)
- Visualisierung auf der komplexen Ebene
Polarform
- Beispiel: Umrechnung in die Polarform
- Übung zur Polarform
Exponentielle Form
- Beispiel: Umrechnung in die Exponentialform
- Übung zur Exponentialform
Eine geeignete Form wählen
Gleichheit zweier komplexer Zahlen
- Beispiel zur Gleichheit
- Übung zur Gleichheit
Übungen
- Ausführliche Lösungen

Kommentare

x

y

z = x + iy

kartesische Form

z = x + iy

$x = \text{Re}(z)$ (Realteil)
$y = \text{Im}(z)$ (Imaginärteil)

Die komplexe Zahl $z = x + iy$ kann auch als geordnetes Paar $(x, y)$ aufgefasst werden. Die zugehörige Koordinatenebene heißt komplexe Ebene oder Argand-Diagramm.

Die horizontale Achse ( $x$ -Achse) stellt den Realteil dar.
Die vertikale Achse ( $y$ -Achse) stellt den Imaginärteil dar.

Visualisierung auf der komplexen Ebene

Jede komplexe Zahl $z = x + iy$ kann als Punkt $(x, y)$ in der komplexen Ebene eingetragen werden. Der Ortsvektor vom Ursprung $(0, 0)$ zu diesem Punkt stellt dieselbe Zahl geometrisch dar.

Komplexe Zahlen auf der komplexen Ebene

Visualisierung mehrerer komplexer Zahlen als Punkte und Vektoren auf der komplexen Ebene.

Polarform

Neben der kartesischen Form gibt es eine zweite wichtige Darstellung: die Polarform. Sie beschreibt eine komplexe Zahl durch:

Betrag ( $r$ ): Der Abstand vom Ursprung $(0, 0)$ zum Punkt $(x, y)$ in der komplexen Ebene. Er ist stets nicht negativ.
Argument ( $\theta$ ): Der Winkel, den die Linie vom Ursprung zum Punkt $z = x + iy$ mit der positiven realen Achse bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.

Für $z=0$ ist der Betrag $0$ , aber keine Richtung festgelegt. Null besitzt deshalb kein Argument und muss in Polar- oder Exponentialform gesondert betrachtet werden.

Die Beziehung zwischen der kartesischen Form ( $x, y$ ) und der Polarform ( $r, \theta$ ) lässt sich anhand der grundlegenden Trigonometrie erkennen:

x = r \cos \theta

Daraus lassen sich $r$ und $\theta$ bestimmen, wenn $x$ und $y$ bekannt sind:

r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Beim Bestimmen von $\theta$ aus $\tan \theta$ muss auch der Quadrant des Punktes $(x, y)$ berücksichtigt werden, denn der Tangenswert allein legt den Winkel nicht eindeutig fest.

Durch Einsetzen von $x$ und $y$ in die kartesische Form erhalten wir die Polarform:

z = x + iy = (r \cos \theta) + i(r \sin \theta)

Manchmal wird die Form $(\cos \theta + i \sin \theta)$ als $\text{cis } \theta$ abgekürzt.

z = r \text{ cis} \theta

Beispiel: Umrechnung in die Polarform

Gegeben sei $z = 1 + i$ .

Realteil $x = 1$ .
Imaginärteil $y = 1$ .

Zuerst bestimmen wir $r$ :

r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

Danach bestimmen wir $\theta$ :

\tan \theta = \frac{1}{1} = 1

Da $x$ und $y$ positiv sind, liegt der Punkt $(1, 1)$ im Quadranten $I$ . Dort hat $\tan$ den Wert $1$ . Im Quadranten $I$ gehört dazu der Winkel $\text{cis } \theta$ beziehungsweise $\pi/4$ im Bogenmaß.

Die Polarform ist also:

z = \sqrt{2} (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)

Übung zur Polarform

Gib die folgenden komplexen Zahlen in Polarform an:

$z = 1 + i\sqrt{3}$
$z = -i$

Ausführliche Lösungen:

Für $z = 1 + i\sqrt{3}$ :
- Hier sind $x = 1$ und $y = \sqrt{3}$ .
- Berechne den Betrag $r$ :
  
  $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
- Bestimme das Argument $\theta$ :
  
  $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
- Polarform:
  
  $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$
Für $z = -i$ :
- Hier sind $x = 0$ und $y = -1$ .
- Berechne den Betrag $r$ :

Exponentielle Form

Es gibt noch eine weitere wichtige Form: die Exponentialform. Aus Eulers Formel folgt:

e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

Hier ist $e \approx 2{,}71828\ldots$ die Eulersche Zahl, die Basis des natürlichen Logarithmus.

Wenn wir die Eulersche Formel in die Polarform $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ einsetzen, erhalten wir die Exponentialform:

z = r e^{i\theta}

Für Faktoren ungleich null macht diese Form aus der Multiplikation das Multiplizieren der Beträge und Addieren der Argumente; bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert.

Beispiel: Umrechnung in die Exponentialform

Betrachten wir die beiden vorigen Beispiele:

Für $z = 1 + i$ haben wir bereits die Polarform $\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$ .
- Betrag $r = \sqrt{2}$ .
- Argument $\theta = 45^\circ = \pi/4$ Bogenmaß.
Für $z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$ :

Übung zur Exponentialform

Gib die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform an. Verwende Winkel im Bogenmaß.

$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$
$z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$

Ausführliche Lösungen:

Für $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$ :
- Betrag $r = 2$ .
- Argument $\theta = 60^\circ$ . Umrechnung ins Bogenmaß:
  
  $\theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$
- Exponentialform:
  
  $z = 2 e^{i \pi/3}$
Für $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$ :
- Betrag $r = 1$ , da vor und kein anderer Faktor steht.

Eine geeignete Form wählen

Die kartesische Form ist normalerweise die klarste Wahl für Addition und Subtraktion. Die Polar- oder Exponentialform erleichtert Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln, da Beträge und Argumente direkt kombiniert werden können.

Für den Rückweg von der Polarform zur kartesischen Form werden Sinus und Cosinus ausgewertet. Zum Beispiel:

w=4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}+2i

Das Ändern der Form ist daher eine Entscheidung zur Problemlösung und kein separater Vorgang an der Zahl.

Gleichheit zweier komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen $z_1 = x_1 + iy_1$ und $z_2 = x_2 + iy_2$ sind genau dann gleich, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen.

z_1 = z_2 \quad \iff \quad x_1 = x_2 \text{und} y_1 = y_2

Beispiel zur Gleichheit

$z_1 = 3 - 2i$ und $z_2 = 4 + 2i$ sind unterschiedlich.

weil $\text{Re}(z_1) = 3 \neq \text{Re}(z_2) = 4$ (obwohl , unterscheiden sich ihre imaginären Vorzeichen).
$z_1 = -1 + i$ und $z_2 = i - 1$ sind .

Übung zur Gleichheit

Entscheide, ob die folgenden Paare komplexer Zahlen gleich oder verschieden sind:

$z_1 = 4 - (-2i)$ und $z_2 = 4 + 2i$
$z_1 = i$ und $z_2 = 1 - i$
$z_1 = -1 + i$ und $z_2 = i + 1$

Ausführliche Lösungen:

$z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i$ .

Somit ist $z_1$ gleich zu $z_2 = 4 + 2i$ .
$z_1 = 0 + 1i$ und $z_2 = 1 - 1i$ .
$z_1 = -1 + 1i$ und $z_2 = 1 + 1i$ .

Übungen

Richtig oder falsch. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl.
Richtig oder falsch. Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die exponentielle und die logarithmische Form.
Richtig oder falsch. Wenn die komplexe Zahl $z = 1 - 3i$ in die komplexe Ebene eingetragen wird, liegt sie im dritten Quadranten.
Gib die komplexe Zahl $2+2i$ in Polar- und Exponentialform an.
Bestimme $x$ und $y$ so, dass für $z_1 = x + 3i$ und $z_2 = 3 - yi$ die Gleichheit $z_1 = z_2$ gilt.
Löse die quadratische Gleichung $x^2 - 2x + 6 = 0$ .
Bestimme die quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_1 = 1 + i$ und $x_2 = 1 - i$ .

Ausführliche Lösungen

Richtig. Eine reelle Zahl $a$ kann als $a + 0i$ geschrieben werden.
Falsch. Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die polare und die exponentielle Form. Ein Logarithmus ist eine Operation auf einer komplexen Zahl und kein Ersatz für die in der Liste fehlende Polarform.
Falsch. $z = 1 - 3i$ hat einen positiven Realteil ( $x=1$ ) und einen negativen Imaginärteil ( $y=-3$ ). Der Punkt $(1, -3)$ liegt im vierten Quadranten.
Für $z = 2 + 2i$ :
- Berechne den Betrag $r$ :
  
  $r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
Damit $z_1 = x + 3i$ gleich $z_2 = 3 - yi$ ist, müssen die Realteile gleich und die Imaginärteile gleich sein:
Zum Lösen von $x^2 - 2x + 6 = 0$ verwenden wir die quadratische Lösungsformel:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung $x_1 = 1 + i$ und $x_2 = 1 - i$ sind, kann die Gleichung aus oder gebildet werden.

Komplexe Zahlen verstehen

Konjugierte komplexe Zahlen

Da $x$ und $y$ positiv sind, gilt: Der Punkt $(1, \sqrt{3})$ liegt im Quadranten $I$ , daher ist $\theta = 60^\circ$ .

r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1

Bestimme das Argument $\theta$ : Der Punkt $(0, -1)$ liegt auf der negativen imaginären Achse. Sein Hauptargument ist daher $\theta = -90^\circ$ .

Polarform mit dem Hauptargument:

z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ))

Der koterminale Winkel $270^\circ$ liefert die gleichwertige Form:

z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ)

Exponentialform:

z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4}

Betrag $r = \sqrt{2}$ .
Argument $\theta = 315^\circ$ . Umrechnung ins Bogenmaß:

$315^\circ = 315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} = \frac{7\pi}{4}$

Gleichwertig kann der negative Winkel $315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4$ verwendet werden.
Exponentialform mit einer der beiden Winkeldarstellungen:

$z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4}$

\cos

\sin

Argument $\theta = 15^\circ$ . Umrechnung ins Bogenmaß:

\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}

Exponentialform:

z = e^{i \pi/12}

|\text{Im}(z_1)| = |-2| = 2 = |\text{Im}(z_2)| = |2|

gleich

weil $\text{Re}(z_1) = -1 = \text{Re}(z_2) = -1$ und $\text{Im}(z_1) = 1 = \text{Im}(z_2) = 1$ .

Die Realteile sind unterschiedlich ( $0 \neq 1$ ) und die Imaginärteile sind unterschiedlich ( $1 \neq -1$ ).

Somit ist $z_1$ verschieden von $z_2$ .

Die Realteile sind unterschiedlich ( $-1 \neq 1$ ).

Somit ist $z_1$ verschieden von $z_2$ .

Berechne das Argument $\theta$ :

\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1

Da $x=2$ und $y=2$ beide positiv sind, liegt der Punkt im ersten Quadranten. Daher ist $\theta = 45^\circ$ beziehungsweise $\pi/4$ im Bogenmaß.

Polarform:

z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)

Exponentialform:

z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4}

Realteil: $x = 3$
Imaginärteil: $3 = -y \implies y = -3$ Also $x=3$ und $y=-3$ .

Hier gilt $a=1, b=-2, c=6$ :

x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}

Die Lösungen sind $x_1 = 1 + i\sqrt{5}$ und $x_2 = 1 - i\sqrt{5}$ .

(x - x_1)(x - x_2) = 0

x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0

Berechne die Summe der Lösungen:

$x_1 + x_2 = (1+i) + (1-i) = 1 + i + 1 - i = 2$
Berechne das Produkt der Lösungen:

$x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
Stelle daraus die quadratische Gleichung auf:
$x^2 - (2)x + (2) = 0$

oder

z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}