Eigenschaften des Betrags komplexer Zahlen

Betrag einer Zahl, ihres Negativen und ihres Konjugierten

Der Betrag einer komplexen Zahl bleibt unverändert, wenn die Zahl negiert oder konjugiert wird.

Erklärung:

Für $z_1 = x + iy$ gilt $-z_1 = -x - iy$ und $\bar{z_1} = x - iy$.

• $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Alle drei ergeben den gleichen Wert.

Betrag einer Differenz

Der Betrag einer Differenz ändert sich nicht, wenn die Reihenfolge der beiden komplexen Zahlen vertauscht wird.

Erklärung:

Das folgt direkt aus der ersten Regel, denn $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$. Daher:

Quadrat des Betrags

Das Quadrat des Betrags einer komplexen Zahl ist das Produkt der Zahl mit ihrem Konjugierten.

Erklärung:

Wenn $z_1 = x + iy$, dann $\bar{z_1} = x - iy$.

Außerdem ist $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$, also $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$.

Somit sind beide Seiten gleich.

Betrag eines Produkts

Der Betrag eines Produkts ist das Produkt der beiden Beträge.

Der Zusammenhang lässt sich zeigen, indem das Produkt mit seinem Konjugierten multipliziert wird:

Da beide Beträge nicht negativ sind, liefert das Ziehen der Quadratwurzel die Produktregel.

Betrag eines Quotienten

Der Betrag eines Quotienten ist der Quotient der beiden Beträge, sofern der Nenner nicht null ist.

Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil $z_1=(z_1/z_2)z_2$ für $z_2\neq0$ gilt.

Dreiecksungleichung

Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der beiden Beträge.

Erklärung:

Geometrisch werden die Vektoren $z_1$ und $z_2$ aneinandergelegt. Der direkte Vektor vom Anfangs- zum Endpunkt ist $z_1 + z_2$; seine Länge kann die Summe $|z_1| + |z_2|$ der beiden anderen Seitenlängen nicht überschreiten.

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Die Differenz der beiden Beträge kann nicht größer sein als der Abstand zwischen den Zahlen selbst.

Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise $z_2$ durch $-z_2$, folgt $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$.

Anwendung der Betragsregeln

Gegeben ist die komplexe Zahl $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$. Gesucht ist $|z|$.

Lösung:

Wir schreiben $z = \frac{z_1}{z_2}$ mit $z_1 = 1 - 2i$ und $z_2 = 3 + 4i$.

Mit der Regel für den Betrag eines Quotienten gilt:

Nun berechnen wir die Beträge von $z_1$ und $z_2$:

Daher:

Dieser Weg ist kürzer, als den Bruch zunächst mit dem Konjugierten des Nenners zu erweitern und erst anschließend den Betrag zu berechnen.

Übungen

1. Für $z_1 = 6 + 8i$ und $z_2 = 3 - i$: Berechne $|z_1 \times z_2|$ mithilfe der Betragsregeln.
2. Für $z = 5 - 12i$: Zeige, dass $|z|^2 = z \times \bar{z}$ gilt.
3. Für $|z_1|=3$ und $|z_2|=5$: Bestimme die möglichen Grenzen für $|z_1+z_2|$.

Lösungen

1. Wir verwenden die Eigenschaft $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$.

   Zuerst berechnen wir beide Beträge:

   $$|z_1| = |6 + 8i| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   Dann folgt:

   $$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 10 \times \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$$

2. Gegeben ist $z = 5 - 12i$.

   Für die linke Seite $|z|^2$ erhalten wir:

   $$|z| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

3. Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze:

   $$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$$

Für die rechte Seite $z \times \bar{z}$ benötigen wir zunächst das Konjugierte:

Das Konjugat von $z$ ist $\bar{z} = 5 + 12i$.

Da die linke Seite $169$ und die rechte Seite $169$ ergeben, ist $|z|^2 = z \times \bar{z}$ für dieses Beispiel bestätigt.

Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man $2\leq|z_1+z_2|\leq8$. Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab.