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Der Betrag einer komplexen Zahl bleibt unverändert, wenn die Zahl negiert oder konjugiert wird.
Erklärung:
Für gilt und .
Alle drei ergeben den gleichen Wert.
Der Betrag einer Differenz ist der Abstand zwischen zwei Punkten. Beim Vertauschen der Punkte bleibt dieser Abstand gleich.
Erklärung:
Das folgt direkt aus , denn . Daher:
Das Quadrat des Betrags einer komplexen Zahl ist das Produkt der Zahl mit ihrem Konjugierten.
Erklärung:
Wenn , dann .
Außerdem ist , also .
Somit sind beide Seiten gleich.
Der Betrag eines Produkts ist das Produkt der beiden Beträge.
Der Zusammenhang lässt sich zeigen, indem das Produkt mit seinem Konjugierten multipliziert wird:
Da beide Beträge nicht negativ sind, liefert das Ziehen der Quadratwurzel die Produktregel.
Der Betrag eines Quotienten ist der Quotient der beiden Beträge, sofern der Nenner nicht null ist.
Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil für gilt.
Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der beiden Beträge.
Erklärung:
Geometrisch werden die Vektoren und aneinandergelegt. Der direkte Vektor vom Anfangs- zum Endpunkt ist . Seine Länge kann die Summe der beiden anderen Seitenlängen nicht überschreiten.
Der direkte Abstand ist kürzer als der Weg über die Ecke des rechtwinkligen Dreiecks:
Der Absolutwert der Differenz beider Beträge kann nicht größer sein als der Abstand zwischen den Zahlen selbst.
Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise durch , folgt .
Für die untere Grenze schreiben wir die erste Zahl als Differenz plus zweite Zahl und verwenden die Dreiecksungleichung:
Vertausche beide Zahlen, um die entgegengesetzte Differenz zu begrenzen. Beide Grenzen zusammen ergeben den Absolutwert der Differenz der Beträge.
Gegeben ist die komplexe Zahl . Gesucht ist .
Lösung:
Wir schreiben mit und .
Mit der Regel für den Betrag eines Quotienten gilt:
Nun berechnen wir die Beträge von und :
Daher:
Dieser Weg ist kürzer, als den Bruch zunächst mit dem Konjugierten des Nenners zu erweitern und erst anschließend den Betrag zu berechnen.
Wähle die passende Betragsregel. Die erste Aufgabe benötigt ein Produkt von Beträgen, die zweite vergleicht zwei Rechnungen. Die dritte gibt nur Längen vor, deshalb ist ihre Antwort ein Intervall.
Berechne zuerst die Beträge, verwende das Konjugierte für das Betragsquadrat und bestimme dann Obergrenze und Untergrenze der Summe.
Wir verwenden die Eigenschaft .
Zuerst berechnen wir beide Beträge:
Dann folgt:
Gegeben ist .
Für die linke Seite erhalten wir:
Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze:
Beide Grenzen sind erreichbar: Entgegengesetzte Richtungen liefern die Untergrenze, dieselbe Richtung liefert die Obergrenze.
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
Für die rechte Seite benötigen wir zunächst das Konjugierte:
Das Konjugat von ist .
Da die linke Seite und die rechte Seite ergeben, ist für dieses Beispiel bestätigt.
Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man . Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab.
