Eigenschaften des Betrags komplexer Zahlen

Wie Rechenoperationen den Betrag beeinflussen

Der Betrag misst den $Abstand vom Ursprung$ . Negation und Konjugation erhalten diesen Abstand. Für Produkte, Quotienten und Summen gelten unterschiedliche Regeln, die wir aus Komponenten und Vektorlängen herleiten können.

Betrag bei Negation und Konjugation

Der Betrag einer komplexen Zahl bleibt $unverändert$ , wenn die Zahl negiert oder konjugiert wird.

|z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}|

$Erklärung$ :

Für $z_1 = x + iy$ gilt $-z_1 = -x - iy$ und $\bar{z_1} = x - iy$ .

$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Alle drei ergeben den gleichen Wert.

Betrag einer Differenz

Der Betrag einer Differenz ist der $Abstand zwischen zwei Punkten$ . Beim Vertauschen der Punkte bleibt dieser Abstand gleich.

|z_1 - z_2| = |z_2 - z_1|

$Erklärung$ :

Das folgt direkt aus $|-z| = |z|$ , denn $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$ . Daher:

\begin{aligned} |z_1 - z_2| &= |-(z_2 - z_1)| \\ &= |z_2 - z_1| \end{aligned}

Quadrat des Betrags

Das Quadrat des Betrags einer komplexen Zahl ist das Produkt der Zahl mit ihrem $Konjugierten$ .

|z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1}

$Erklärung$ :

Wenn $z_1 = x + iy$ , dann $\bar{z_1} = x - iy$ .

\begin{aligned}z_1 \times \bar{z_1} &= (x + iy)(x - iy) \\ &= x^2 - (iy)^2 \\ &= x^2 - i^2y^2 \\ &= x^2 - (-1)y^2 \\ &= x^2 + y^2\end{aligned}

Außerdem ist $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , also $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$ .

Somit sind beide Seiten gleich.

Betrag eines Produkts

Der Betrag eines Produkts ist $das Produkt der beiden Beträge$ .

|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|

Der Zusammenhang lässt sich zeigen, indem das Produkt mit seinem Konjugierten multipliziert wird:

\begin{aligned}|z_1z_2|^2&=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}\\&=z_1\bar z_1z_2\bar z_2\\&=|z_1|^2|z_2|^2\end{aligned}

Da beide Beträge nicht negativ sind, liefert das Ziehen der Quadratwurzel die Produktregel.

Betrag eines Quotienten

Der Betrag eines Quotienten ist der $Quotient der beiden Beträge$ , sofern der Nenner nicht null ist.

\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{für } z_2 \neq 0

Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil $z_1=(z_1/z_2)z_2$ für $z_2\neq0$ gilt.

\begin{aligned}|z_1|&=\left|\frac{z_1}{z_2}\right||z_2|\\\left|\frac{z_1}{z_2}\right|&=\frac{|z_1|}{|z_2|}\end{aligned}

Dreiecksungleichung

Der Betrag einer Summe ist $höchstens so groß wie$ die Summe der beiden Beträge.

|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|

$Erklärung$ :

Geometrisch werden die Vektoren $z_1$ und $z_2$ aneinandergelegt. Der direkte Vektor vom Anfangs- zum Endpunkt ist $z_1 + z_2$ . Seine Länge kann die Summe $|z_1| + |z_2|$ der beiden anderen Seitenlängen nicht überschreiten.

Der direkte Abstand ist kürzer als der Weg über die Ecke des rechtwinkligen Dreiecks:

|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\leq3+4=7

Direkter Abstand und Weg über zwei Seiten

Ein waagerechter Vektor der Länge 3 und ein senkrechter Vektor der Länge 4 ergeben einen direkten Vektor der Länge 5. Die Länge 5 überschreitet die Weglänge 3 plus 4 nicht.

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Der $Absolutwert der Differenz beider Beträge$ kann nicht größer sein als der Abstand zwischen den Zahlen selbst.

\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1-z_2|

Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise $z_2$ durch $-z_2$ , folgt $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$ .

Für die untere Grenze schreiben wir die erste Zahl als Differenz plus zweite Zahl und verwenden die Dreiecksungleichung:

\begin{aligned}|z_1|&=|(z_1-z_2)+z_2|\\&\leq|z_1-z_2|+|z_2|\\|z_1|-|z_2|&\leq|z_1-z_2|\end{aligned}

Vertausche beide Zahlen, um die entgegengesetzte Differenz zu begrenzen. Beide Grenzen zusammen ergeben den Absolutwert der Differenz der Beträge.

\begin{aligned}|z_2|-|z_1|&\leq|z_2-z_1|=|z_1-z_2|\\\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|&\leq|z_1-z_2|\end{aligned}

Anwendung der Betragsregeln

Gegeben ist die komplexe Zahl $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$ . Gesucht ist $|z|$ .

$Lösung$ :

Wir schreiben $z = \frac{z_1}{z_2}$ mit $z_1 = 1 - 2i$ und $z_2 = 3 + 4i$ .

Mit der Regel für den $Betrag eines Quotienten$ gilt:

|z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|}

Nun berechnen wir die Beträge von $z_1$ und $z_2$ :

\begin{aligned} |z_1| &= |1 - 2i| \\ &= \sqrt{1^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

Daher:

|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}

Dieser Weg ist kürzer, als den Bruch zunächst mit dem Konjugierten des Nenners zu erweitern und erst anschließend den Betrag zu berechnen.

Übungen

Wähle die $passende Betragsregel$ . Die erste Aufgabe benötigt ein Produkt von Beträgen, die zweite vergleicht zwei Rechnungen. Die dritte gibt nur Längen vor, deshalb ist ihre Antwort ein Intervall.

Für $z_1 = 6 + 8i$ und $z_2 = 3 - i$ : Berechne $|z_1 \times z_2|$ mithilfe der Betragsregeln.
Für $z = 5 - 12i$ : Zeige, dass $|z|^2 = z \times \bar{z}$ gilt.
Für $|z_1|=3$ und $|z_2|=5$ : Bestimme die möglichen Grenzen für $|z_1+z_2|$ .

Lösungen

Berechne zuerst die Beträge, verwende das Konjugierte für das Betragsquadrat und bestimme dann $Obergrenze und Untergrenze$ der Summe.

Wir verwenden die Eigenschaft $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

Zuerst berechnen wir beide Beträge:
$\begin{aligned} |z_1| &= |6 + 8i| \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}$
Dann folgt:

$\begin{aligned} |z_1 \times z_2| &= |z_1| \times |z_2| \\ &= 10 \times \sqrt{10} \\ &= 10\sqrt{10} \end{aligned}$
Gegeben ist $z = 5 - 12i$ .

Für die linke Seite $|z|^2$ erhalten wir:
$\begin{aligned} |z| &= |5 - 12i| \\ &= \sqrt{5^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \end{aligned}$
Für die rechte Seite $z \times \bar{z}$ benötigen wir zunächst das Konjugierte:

Das Konjugat von $z$ ist $\bar{z} = 5 + 12i$ .

$\begin{aligned}z \times \bar{z} &= (5 - 12i)(5 + 12i) \\ &= 5^2 - (12i)^2 \\ &= 25 - 144i^2 \\ &= 25 - 144(-1) \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}$

Da die linke Seite $169$ und die rechte Seite $169$ ergeben, ist $|z|^2 = z \times \bar{z}$ für dieses Beispiel bestätigt.
Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze:

$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man $2\leq|z_1+z_2|\leq8$ . Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab.

Beide Grenzen sind erreichbar: Entgegengesetzte Richtungen liefern die Untergrenze, dieselbe Richtung liefert die Obergrenze.

\begin{aligned}|3+(-5)|&=2\\|3+5|&=8\end{aligned}

Wie Rechenoperationen den Betrag beeinflussen

Betrag bei Negation und Konjugation

Der Betrag einer komplexen Zahl bleibt $unverändert$ , wenn die Zahl negiert oder konjugiert wird.

|z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}|

$Erklärung$ :

Für $z_1 = x + iy$ gilt $-z_1 = -x - iy$ und $\bar{z_1} = x - iy$ .

$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Alle drei ergeben den gleichen Wert.

Betrag einer Differenz

Der Betrag einer Differenz ist der $Abstand zwischen zwei Punkten$ . Beim Vertauschen der Punkte bleibt dieser Abstand gleich.

|z_1 - z_2| = |z_2 - z_1|

$Erklärung$ :

Das folgt direkt aus $|-z| = |z|$ , denn $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$ . Daher:

\begin{aligned} |z_1 - z_2| &= |-(z_2 - z_1)| \\ &= |z_2 - z_1| \end{aligned}

Quadrat des Betrags

Das Quadrat des Betrags einer komplexen Zahl ist das Produkt der Zahl mit ihrem $Konjugierten$ .

|z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1}

$Erklärung$ :

Wenn $z_1 = x + iy$ , dann $\bar{z_1} = x - iy$ .

\begin{aligned}z_1 \times \bar{z_1} &= (x + iy)(x - iy) \\ &= x^2 - (iy)^2 \\ &= x^2 - i^2y^2 \\ &= x^2 - (-1)y^2 \\ &= x^2 + y^2\end{aligned}

Außerdem ist $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , also $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$ .

Somit sind beide Seiten gleich.

Betrag eines Produkts

Der Betrag eines Produkts ist $das Produkt der beiden Beträge$ .

|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|

Der Zusammenhang lässt sich zeigen, indem das Produkt mit seinem Konjugierten multipliziert wird:

\begin{aligned}|z_1z_2|^2&=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}\\&=z_1\bar z_1z_2\bar z_2\\&=|z_1|^2|z_2|^2\end{aligned}

Da beide Beträge nicht negativ sind, liefert das Ziehen der Quadratwurzel die Produktregel.

Betrag eines Quotienten

Der Betrag eines Quotienten ist der $Quotient der beiden Beträge$ , sofern der Nenner nicht null ist.

\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{für } z_2 \neq 0

Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil $z_1=(z_1/z_2)z_2$ für $z_2\neq0$ gilt.

\begin{aligned}|z_1|&=\left|\frac{z_1}{z_2}\right||z_2|\\\left|\frac{z_1}{z_2}\right|&=\frac{|z_1|}{|z_2|}\end{aligned}

Dreiecksungleichung

Der Betrag einer Summe ist $höchstens so groß wie$ die Summe der beiden Beträge.

|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|

$Erklärung$ :

Der direkte Abstand ist kürzer als der Weg über die Ecke des rechtwinkligen Dreiecks:

|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5\leq3+4=7

Direkter Abstand und Weg über zwei Seiten

Ein waagerechter Vektor der Länge 3 und ein senkrechter Vektor der Länge 4 ergeben einen direkten Vektor der Länge 5. Die Länge 5 überschreitet die Weglänge 3 plus 4 nicht.

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Der $Absolutwert der Differenz beider Beträge$ kann nicht größer sein als der Abstand zwischen den Zahlen selbst.

\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1-z_2|

Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise $z_2$ durch $-z_2$ , folgt $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$ .

Für die untere Grenze schreiben wir die erste Zahl als Differenz plus zweite Zahl und verwenden die Dreiecksungleichung:

\begin{aligned}|z_1|&=|(z_1-z_2)+z_2|\\&\leq|z_1-z_2|+|z_2|\\|z_1|-|z_2|&\leq|z_1-z_2|\end{aligned}

Vertausche beide Zahlen, um die entgegengesetzte Differenz zu begrenzen. Beide Grenzen zusammen ergeben den Absolutwert der Differenz der Beträge.

\begin{aligned}|z_2|-|z_1|&\leq|z_2-z_1|=|z_1-z_2|\\\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|&\leq|z_1-z_2|\end{aligned}

Anwendung der Betragsregeln

Gegeben ist die komplexe Zahl $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$ . Gesucht ist $|z|$ .

$Lösung$ :

Wir schreiben $z = \frac{z_1}{z_2}$ mit $z_1 = 1 - 2i$ und $z_2 = 3 + 4i$ .

Mit der Regel für den $Betrag eines Quotienten$ gilt:

|z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|}

Nun berechnen wir die Beträge von $z_1$ und $z_2$ :

\begin{aligned} |z_1| &= |1 - 2i| \\ &= \sqrt{1^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

Daher:

|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}

Dieser Weg ist kürzer, als den Bruch zunächst mit dem Konjugierten des Nenners zu erweitern und erst anschließend den Betrag zu berechnen.

Übungen

Für $z_1 = 6 + 8i$ und $z_2 = 3 - i$ : Berechne $|z_1 \times z_2|$ mithilfe der Betragsregeln.
Für $z = 5 - 12i$ : Zeige, dass $|z|^2 = z \times \bar{z}$ gilt.
Für $|z_1|=3$ und $|z_2|=5$ : Bestimme die möglichen Grenzen für $|z_1+z_2|$ .

Lösungen

Berechne zuerst die Beträge, verwende das Konjugierte für das Betragsquadrat und bestimme dann $Obergrenze und Untergrenze$ der Summe.

Wir verwenden die Eigenschaft $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

Zuerst berechnen wir beide Beträge:
$\begin{aligned} |z_1| &= |6 + 8i| \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}$
Dann folgt:

$\begin{aligned} |z_1 \times z_2| &= |z_1| \times |z_2| \\ &= 10 \times \sqrt{10} \\ &= 10\sqrt{10} \end{aligned}$
Gegeben ist $z = 5 - 12i$ .

Für die linke Seite $|z|^2$ erhalten wir:
$\begin{aligned} |z| &= |5 - 12i| \\ &= \sqrt{5^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \end{aligned}$
Für die rechte Seite $z \times \bar{z}$ benötigen wir zunächst das Konjugierte:

Das Konjugat von $z$ ist $\bar{z} = 5 + 12i$ .

$\begin{aligned}z \times \bar{z} &= (5 - 12i)(5 + 12i) \\ &= 5^2 - (12i)^2 \\ &= 25 - 144i^2 \\ &= 25 - 144(-1) \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}$

Da die linke Seite $169$ und die rechte Seite $169$ ergeben, ist $|z|^2 = z \times \bar{z}$ für dieses Beispiel bestätigt.
Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze:

$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man $2\leq|z_1+z_2|\leq8$ . Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab.

Beide Grenzen sind erreichbar: Entgegengesetzte Richtungen liefern die Untergrenze, dieselbe Richtung liefert die Obergrenze.

\begin{aligned}|3+(-5)|&=2\\|3+5|&=8\end{aligned}