Bei der Multiplikation werden Richtungen durch die Summe ihrer Winkel verknüpft. Bei der Division werden die Winkel voneinander abgezogen. Seien und zwei komplexe Zahlen ungleich null in Polarform:
z1
z2
z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Dabei ist θ1 ein Argument von z1 und θ2 ein Argument von z2.
Das Argument des Quotienten zweier komplexer Zahlen (z2z1, mit z2=0) ist die Differenz zwischen dem Argument der komplexen Zahl des Zählers (z1) und dem Argument der komplexen Zahl des Nenners (z2).
Auch hier ist die Gleichheit modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:
arg(z2z1)≡arg(z1)−arg(z2)(mod2π)
Das heißt, wenn θ1 ein Argument von z1 und θ2 ein Argument von z2 ist,
dann ist θ1−θ2 eines der Argumente von z2z1.
So bestimmst du das Hauptargument Arg(z2z1):
Berechne Arg(z1)−Arg(z2).
Liegt das Ergebnis bereits in (−180∘,180∘] beziehungsweise (−π,π], ist es das Hauptargument.
Andernfalls bringe das Ergebnis mit demselben Schritt wie beim Produkt in dieses Intervall.
Eine Winkelsumme oder Winkeldifferenz ist nicht immer das Hauptargument. Subtrahiere oder addiere eine volle Umdrehung, um den Winkel im festgelegten Intervall zu wählen. Die linke Grenze ist dabei ausgeschlossen.
Verwende die Summe der Winkel für das Produkt und ihre Differenz für den Quotienten. Die positiven Beträge verändern nur die Vektorlängen. Gegeben sind:
z1=2(cos45∘+isin45∘)
z2=3(cos95∘+isin95∘)
Bestimme das Hauptargument von z1×z2 und z2z1.
Beide Zahlen stehen bereits in Polarform, sodass sich die beiden Argumente direkt verbinden, und der Hauptbereich entscheidet, ob das Ergebnis eine weitere volle Umdrehung braucht. Gegeben seien za=4(cos120∘+isin120∘) und zb=2(cos50∘+isin50∘). Bestimme:
