Eigenschaften des Hauptarguments komplexer Zahlen

Argumente bei Produkten und Quotienten

Bei der Multiplikation $werden Richtungen durch die Summe ihrer Winkel verknüpft$ . Bei der Division werden die Winkel voneinander abgezogen. Seien $z_1$ und $z_2$ zwei komplexe Zahlen ungleich null in Polarform:

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)

Dabei ist $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ .

Argument des Produkts

Das Argument des Produkts zweier komplexer Zahlen ( $z_1 \times z_2$ ) ist die $Summe$ der Argumente der einzelnen komplexen Zahlen.

Die folgende Gleichheit ist modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:

\begin{aligned} &\arg(z_1 z_2) \\ &\equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi} \end{aligned}

Das heißt, wenn $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ ist,

dann ist $\theta_1 + \theta_2$ eines der Argumente von $z_1 z_2$ .

Um das Hauptargument $\text{Arg}(z_1 z_2)$ zu finden:

Berechne $\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$ .
Liegt das Ergebnis bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ beziehungsweise $(-\pi, \pi]$ , ist es das Hauptargument.
Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt.

Die Additionstheoreme erklären die Produktregel. Multipliziere die Polarformen und fasse Realteil und Imaginärteil zusammen:

\begin{aligned}\frac{z_1z_2}{r_1r_2}&=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)\\&\quad+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\\&=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}

Argument des Quotienten

Das Argument des Quotienten zweier komplexer Zahlen ( $\frac{z_1}{z_2}$ , mit $z_2 \neq 0$ ) ist die $Differenz$ zwischen dem Argument der komplexen Zahl des Zählers ( $z_1$ ) und dem Argument der komplexen Zahl des Nenners ( $z_2$ ).

Auch hier ist die Gleichheit modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:

\begin{aligned} &\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) \\ &\equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi} \end{aligned}

Das heißt, wenn $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ ist,

dann ist $\theta_1 - \theta_2$ eines der Argumente von $\frac{z_1}{z_2}$ .

So bestimmst du das Hauptargument $\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$ :

Berechne $\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$ .
Liegt das Ergebnis bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ beziehungsweise $(-\pi, \pi]$ , ist es das Hauptargument.
Andernfalls bringe das Ergebnis mit demselben Schritt wie beim Produkt in dieses Intervall.

Einen Winkel ins Hauptintervall zurückführen

Eine Winkelsumme oder Winkeldifferenz ist nicht immer das Hauptargument. $Subtrahiere oder addiere eine volle Umdrehung$ , um den Winkel im festgelegten Intervall zu wählen. Die linke Grenze ist dabei ausgeschlossen.

Operation	Winkel vor der Anpassung	Hauptargument
Produkt	$120^\circ+120^\circ=240^\circ$	$240^\circ-360^\circ=-120^\circ$
Quotient	$-150^\circ-60^\circ=-210^\circ$	$-210^\circ+360^\circ=150^\circ$
Intervallgrenze	$-180^\circ$	$-180^\circ+360^\circ=180^\circ$

Argumenteigenschaften verwenden

Verwende die $Summe der Winkel$ für das Produkt und ihre Differenz für den Quotienten. Die $positiven Beträge$ verändern nur die Vektorlängen. Gegeben sind:

z_1 = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)

Bestimme das Hauptargument von $z_1 \times z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ .

$Lösung$ :

Die beiden Hauptargumente lauten:

\text{Arg}(z_1) = 45^\circ

$z_1 \times z_2$ :

Summe der Hauptargumente:

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ + 95^\circ \\ &= 140^\circ \end{aligned}$

Da $140^\circ$ bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ liegt, gilt:

$\text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ$

Die Menge aller Argumente ist $\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$
$\frac{z_1}{z_2}$ :

Differenz der Hauptargumente:

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ - 95^\circ \\ &= -50^\circ \end{aligned}$

Da $-50^\circ$ bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ liegt, gilt:

$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = -50^\circ$

Die Menge aller Argumente ist $\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$ .

Übung

Beide Zahlen stehen bereits in Polarform, sodass sich die beiden Argumente direkt verbinden, und der $Hauptbereich$ entscheidet, ob das Ergebnis eine weitere volle Umdrehung braucht. Gegeben seien $z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$ und $z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$ . Bestimme:

$\text{Arg}(z_a \times z_b)$
$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$

Ausführliche Lösung

Gegeben seien $\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$ und $\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$ .

Die $positiven Beträge$ ändern die Richtung der beiden komplexen Zahlen nicht. Für die Rechnung werden deshalb nur die beiden Argumente benötigt.

$Produktargument$ :

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ + 50^\circ \\ &= 170^\circ \end{aligned}$

Aus $170^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$ folgt $\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$ .
$Quotientenargument$ :

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ - 50^\circ \\ &= 70^\circ \end{aligned}$

Aus $70^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$ folgt $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$ .

Argumente bei Produkten und Quotienten

z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)

Dabei ist $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ .

Argument des Produkts

Das Argument des Produkts zweier komplexer Zahlen ( $z_1 \times z_2$ ) ist die $Summe$ der Argumente der einzelnen komplexen Zahlen.

Die folgende Gleichheit ist modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:

\begin{aligned} &\arg(z_1 z_2) \\ &\equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi} \end{aligned}

Das heißt, wenn $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ ist,

dann ist $\theta_1 + \theta_2$ eines der Argumente von $z_1 z_2$ .

Um das Hauptargument $\text{Arg}(z_1 z_2)$ zu finden:

Berechne $\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$ .
Liegt das Ergebnis bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ beziehungsweise $(-\pi, \pi]$ , ist es das Hauptargument.
Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt.

Die Additionstheoreme erklären die Produktregel. Multipliziere die Polarformen und fasse Realteil und Imaginärteil zusammen:

\begin{aligned}\frac{z_1z_2}{r_1r_2}&=(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)\\&\quad+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\\&=\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\end{aligned}

Argument des Quotienten

Auch hier ist die Gleichheit modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:

\begin{aligned} &\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) \\ &\equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi} \end{aligned}

Das heißt, wenn $\theta_1$ ein Argument von $z_1$ und $\theta_2$ ein Argument von $z_2$ ist,

dann ist $\theta_1 - \theta_2$ eines der Argumente von $\frac{z_1}{z_2}$ .

So bestimmst du das Hauptargument $\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$ :

Berechne $\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$ .
Liegt das Ergebnis bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ beziehungsweise $(-\pi, \pi]$ , ist es das Hauptargument.
Andernfalls bringe das Ergebnis mit demselben Schritt wie beim Produkt in dieses Intervall.

Einen Winkel ins Hauptintervall zurückführen

Operation	Winkel vor der Anpassung	Hauptargument
Produkt	$120^\circ+120^\circ=240^\circ$	$240^\circ-360^\circ=-120^\circ$
Quotient	$-150^\circ-60^\circ=-210^\circ$	$-210^\circ+360^\circ=150^\circ$
Intervallgrenze	$-180^\circ$	$-180^\circ+360^\circ=180^\circ$

Argumenteigenschaften verwenden

Verwende die $Summe der Winkel$ für das Produkt und ihre Differenz für den Quotienten. Die $positiven Beträge$ verändern nur die Vektorlängen. Gegeben sind:

z_1 = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)

Bestimme das Hauptargument von $z_1 \times z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ .

$Lösung$ :

Die beiden Hauptargumente lauten:

\text{Arg}(z_1) = 45^\circ

$z_1 \times z_2$ :

Summe der Hauptargumente:

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ + 95^\circ \\ &= 140^\circ \end{aligned}$

Da $140^\circ$ bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ liegt, gilt:

$\text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ$

Die Menge aller Argumente ist $\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$
$\frac{z_1}{z_2}$ :

Differenz der Hauptargumente:

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) &= 45^\circ - 95^\circ \\ &= -50^\circ \end{aligned}$

Da $-50^\circ$ bereits in $(-180^\circ, 180^\circ]$ liegt, gilt:

$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = -50^\circ$

Die Menge aller Argumente ist $\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$ .

Übung

$\text{Arg}(z_a \times z_b)$
$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$

Ausführliche Lösung

Gegeben seien $\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$ und $\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$ .

Die $positiven Beträge$ ändern die Richtung der beiden komplexen Zahlen nicht. Für die Rechnung werden deshalb nur die beiden Argumente benötigt.

$Produktargument$ :

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ + 50^\circ \\ &= 170^\circ \end{aligned}$

Aus $170^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$ folgt $\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$ .
$Quotientenargument$ :

$\begin{aligned} \text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) &= 120^\circ - 50^\circ \\ &= 70^\circ \end{aligned}$

Aus $70^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$ folgt $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$ .