For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Bei der Multiplikation werden Richtungen durch die Summe ihrer Winkel verknüpft. Bei der Division werden die Winkel voneinander abgezogen. Seien z1 und zwei komplexe Zahlen ungleich null in Polarform:
Dabei ist θ1 ein Argument von z1 und θ2 ein Argument von z2.
Das Argument des Produkts zweier komplexer Zahlen (z1×z2) ist die Summe der Argumente der einzelnen komplexen Zahlen.
Die folgende Gleichheit ist modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:
Das heißt, wenn θ1 ein Argument von z1 und θ2 ein Argument von z2 ist,
dann ist θ1+θ2 eines der Argumente von z1z2.
Um das Hauptargument Arg(z1z2) zu finden:
- Berechne Arg(z1)+Arg(z2).
- Liegt das Ergebnis bereits in (−180∘,180∘] beziehungsweise (−π,π], ist es das Hauptargument.
- Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt.
Das Argument des Quotienten zweier komplexer Zahlen (z2z1, mit z2=0) ist die Differenz zwischen dem Argument der komplexen Zahl des Zählers (z1) und dem Argument der komplexen Zahl des Nenners (z2).
Auch hier ist die Gleichheit modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen:
Das heißt, wenn θ1 ein Argument von z1 und θ2 ein Argument von z2 ist,
dann ist θ1−θ2 eines der Argumente von z2z1.
So bestimmst du das Hauptargument Arg(z2z1):
- Berechne Arg(z1)−Arg(z2).
- Liegt das Ergebnis bereits in (−180∘,180∘] beziehungsweise (−π,π], ist es das Hauptargument.
- Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt.
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen:
Bestimme das Hauptargument von z1×z2 und z2z1.
Die beiden Hauptargumente lauten:
-
Argument des Produkts (z1×z2):
Summe der Hauptargumente:
Da 140∘ bereits in (−180∘,180∘] liegt, gilt:
Die Menge aller Argumente ist {140∘+k⋅360∘:k∈Z}
-
Quotientenargument (z2z1):
Differenz der Hauptargumente:
Gegeben seien za=4(cos120∘+isin120∘) und zb=2(cos50∘+isin50∘). Bestimme:
-
Arg(za×zb)
-
Arg(zbza)
Gegeben seien Arg(za)=120∘ und Arg(zb)=50∘.
Die positiven Beträge ändern die Richtung der beiden komplexen Zahlen nicht. Für die Rechnung werden deshalb nur die beiden Argumente benötigt.
-
Produktargument:
Aus 170∘∈(−180∘,180∘] folgt Arg(zazb)=170∘.
-
Quotientenargument:
Da −50∘ bereits in (−180∘,180∘] liegt, gilt:
Die Menge aller Argumente ist {−50∘+k⋅360∘:k∈Z}.
Aus 70∘∈(−180∘,180∘] folgt Arg(zbza)=70∘.
