Das Hauptargument verstehen
Das Argument einer komplexen Zahl ungleich null ist der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse bildet. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist nicht definiert.
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Das Argument einer komplexen Zahl ungleich null ist der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse bildet. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist nicht definiert.
Dieselbe Richtung lässt sich durch unendlich viele koterminale Winkel beschreiben.
Ist ein Argument von , dann ist auch mit einer ganzen Zahl , also , ein Argument von . Jede Addition eines Vielfachen von beziehungsweise beschreibt dieselbe Richtung.
Beispiel:
Die Winkel , () und () zeigen alle die gleiche Richtung an.
Da es unendlich viele Argumente für eine einzelne komplexe Zahl gibt, benötigen wir oft einen eindeutigen Standardwert. Dieser Wert wird als Hauptargument bezeichnet.
Das Hauptargument einer komplexen Zahl ungleich null, mit , ist der eindeutige Wert des Arguments im festgelegten Intervall.
In diesem Kurs ist das Hauptargument (bezeichnet mit ) als das Argument definiert, für das gilt:
Einige Quellen verwenden stattdessen . Beide Konventionen wählen aus jeder Familie koterminaler Winkel genau einen Vertreter. In diesem Kurs wird durchgehend verwendet.
Bestimme zuerst ein beliebiges Argument. Addiere oder subtrahiere dann volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in beziehungsweise liegt.
Bestimme das Hauptargument von
Der Punkt liegt im Quadranten .
Da bereits in liegt, lautet das Hauptargument:
Bestimme das Hauptargument von
Der Punkt liegt im Quadranten .
Zwei komplexe Zahlen und ungleich null, mit und , heißen genau dann gleich, wenn:
Ihre Beträge sind gleich:
(oder )
Ihre Argumente sind gleich oder unterscheiden sich um ein Vielfaches von (oder ):
oder für eine ganze Zahl .
Wenn wir das Hauptargument in verwenden, vereinfacht sich die zweite Bedingung zu .
Entscheide, ob die folgenden Paare komplexer Zahlen gleich oder verschieden sind.
Lösung:
Vergleiche Betrag und Hauptargument:
Da ihre Hauptargumente verschieden sind (), gilt .
Vergleiche Betrag und Argument:
Bestimme das Hauptargument der folgenden komplexen Zahlen in Grad:
Für :
Der Punkt liegt im Quadranten .
Aus folgt .
Für :
Schreibe die Zahl als . Der Punkt liegt direkt auf der negativen imaginären Achse. Eine Division durch ist daher nicht nötig.
Da bereits in liegt, lautet das Hauptargument:
Da die Differenz der Argumente ein Vielfaches von ist (), gilt .
Alternativ können wir sehen, dass das Hauptargument von ist, was dasselbe ist wie das Hauptargument von .