Hauptargument komplexer Zahlen

Verschiedene Winkel beschreiben dieselbe Richtung

Das Argument $\theta$ einer komplexen Zahl $z = x + iy$ ungleich null ist der Winkel, den der Vektor $z$ mit der positiven reellen Achse bildet. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist $\text{Arg}(0)$ nicht definiert.

Dieselbe Richtung lässt sich durch $unendlich viele koterminale Winkel$ beschreiben.

Ist $\theta$ ein Argument von $z$ , dann ist auch $\theta + 2\pi k$ mit einer ganzen Zahl $k$ , also $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ , ein Argument von $z$ . Jede Addition eines Vielfachen von $360^\circ$ beziehungsweise $2\pi$ beschreibt dieselbe Richtung.

$Beispiel$ :

Die Winkel $45^\circ$ , $405^\circ$ ( $45^\circ + 360^\circ$ ) und $-315^\circ$ ( $45^\circ - 360^\circ$ ) zeigen alle die gleiche Richtung an.

Da es unendlich viele Argumente für eine einzelne komplexe Zahl gibt, benötigen wir oft einen eindeutigen Standardwert. Dieser Wert wird als $Hauptargument$ bezeichnet.

Definition des Hauptarguments

Für eine von null verschiedene komplexe Zahl $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ mit $r>0$ ist das $Hauptargument$ $\operatorname{Arg}(z)$ der eindeutig gewählte Winkel $\theta$ im Intervall $(-\pi, \pi]$ . In Grad wird dieselbe Konvention so geschrieben:

\begin{aligned} &-\pi < \theta \leq \pi \\ &\text{oder} \\ &-180^\circ < \theta \leq 180^\circ \end{aligned}

Einige Quellen verwenden das Intervall $[0, 2\pi)$ . Beide Konventionen wählen aus jeder Menge koterminaler Winkel genau einen Vertreter. Alle folgenden Beispiele verwenden $(-\pi, \pi]$ .

Bestimmung des Hauptarguments

Bestimme ein Argument und $addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen$ , bis der Winkel im Hauptintervall liegt. In Grad ist die linke Grenze ausgeschlossen und die rechte eingeschlossen. Für die negative reelle Achse verwenden wir deshalb positive 180 Grad.

Ausgangswinkel	Rechnung	Hauptargument
$300^\circ$	$300^\circ-360^\circ=-60^\circ$	$-60^\circ$
$405^\circ$	$405^\circ-360^\circ=45^\circ$	$45^\circ$
$-315^\circ$	$-315^\circ+360^\circ=45^\circ$	$45^\circ$
$-180^\circ$	$-180^\circ+360^\circ=180^\circ$	$180^\circ$

Das Hauptargument finden

Prüfe den $Quadranten des Punktes$ , bevor du den Arkustangens verwendest. Der Quotient der Komponenten bestimmt nur die Steigung. Zwei entgegengesetzte Richtungen können deshalb denselben Tangens haben.

Für $z=1+i$ : $(1,1)$ liegt im ersten Quadranten.

\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{1}{1}=1\\\operatorname{Arg}(1+i)&=45^\circ=\frac{\pi}{4}\end{aligned}

Für $z=\sqrt{3}+i$ : $(\sqrt{3},1)$ liegt im ersten Quadranten.

\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{1}{\sqrt{3}}\\\operatorname{Arg}(\sqrt{3}+i)&=30^\circ=\frac{\pi}{6}\end{aligned}

Winkel zur positiven reellen Achse

Zwei Vektoren im ersten Quadranten bilden Winkel von 45 und 30 Grad mit der positiven reellen Achse. Die Bögen zeigen die gemessenen Winkel.

Bei einem Punkt im zweiten Quadranten liefert der Arkustangens allein die falsche Richtung. Der Punkt $(-1,1)$ liegt im zweiten Quadranten. Daher addieren wir eine halbe Umdrehung:

\begin{aligned}\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)&=-45^\circ\\\operatorname{Arg}(-1+i)&=-45^\circ+180^\circ=135^\circ\end{aligned}

Gleichheit zweier komplexer Zahlen in Polarform

Zwei komplexe Zahlen $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ und $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$ ungleich null, mit $r_1>0$ und $r_2>0$ , heißen genau dann $gleich$ , wenn:

Ihre Beträge sind gleich:

$r_1 = r_2$ (oder $|z_1| = |z_2|$ )
Ihre Argumente sind gleich oder unterscheiden sich um ein Vielfaches von $2\pi$ (oder $360^\circ$ ):

$\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$ oder $\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$ für eine ganze Zahl $k$ .

Wenn wir das $Hauptargument$ in $(-\pi, \pi]$ verwenden, vereinfacht sich die zweite Bedingung zu $\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$ .

Gleichheit prüfen

Vergleiche $Betrag und Richtung$ gemeinsam. Gleiche Beträge reichen nicht aus, wenn die Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen.

Paar	Beträge	Winkeldifferenz	Ergebnis
$\sqrt{2}(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $\sqrt{2}(\cos95^\circ+i\sin95^\circ)$	$\sqrt{2}=\sqrt{2}$	$45^\circ-95^\circ=-50^\circ$	Verschieden
$\cos30^\circ+i\sin30^\circ$ , $\cos390^\circ+i\sin390^\circ$	$1=1$	$30^\circ-390^\circ=-360^\circ$	Gleich

Übung

Die Vorzeichen der Komponenten bestimmen den $Quadranten oder die Achse$ . Bestimme den Winkel und prüfe, ob er im Hauptintervall liegt. Bestimme das Hauptargument der folgenden Zahlen in Grad. Ist die reelle Komponente null, ist der Quotient für den Tangens nicht definiert. Die Richtung des Vektors lässt sich trotzdem bestimmen.

$1 + \sqrt{3}i$
$-i$

Ausführliche Lösungen

Im ersten Quadranten verwendest du das Verhältnis der Komponenten. Auf der imaginären Achse liest du die $Richtung des Vektors$ direkt ab, damit du nicht durch null teilst.

$z = 1 + \sqrt{3}i$ :

Der Punkt $(1, \sqrt{3})$ liegt im Quadranten $I$ .
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
Aus $60^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$ folgt $\text{Arg}(z) = 60^\circ$ .
$z = -i$ :

Schreibe die Zahl als $z = 0 - 1i$ . Der Punkt $(0, -1)$ liegt direkt auf der negativen imaginären Achse. Eine Division durch $x=0$ ist daher nicht nötig.

$\text{Arg}(z) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$