Kehrwert komplexer Zahlen

Multipliziert man $z$ mit ihrem Kehrwert $z^{-1}$, erhält man das multiplikative neutrale Element $1$.

Die Kehrwertformel

Aus den Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen folgt für $z = x + iy$:

Als geordnetes Paar lässt sich derselbe Kehrwert so schreiben:

Besonders nützlich ist die Darstellung mit dem Konjugierten $\bar{z} = x-iy$ und dem Quadrat des Betrags $|z|^2 = x^2+y^2$:

Beispielrechnung

Bestimme den Kehrwert von $z = 1 - i$.

Lösung:

Hier sind $x=1$ und $y=-1$.

Mit der ersten Formel:

Mit dem Konjugierten und dem Betrag ergibt sich derselbe Wert:

Beide Wege liefern:

Übung

Gegeben sind $z_1 = 1-i$ und $z_2 = 2+3i$. Bestimme den Kehrwert von $z_1 + z_2$.

Ausführliche Lösungen

Schritt $1$: Berechne zuerst $z_1 + z_2$.

Schritt $2$: Bestimme den Kehrwert von $z = 3+2i$. Dabei sind $x=3$ und $y=2$. Mit $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ erhält man:

Der Kehrwert von $z_1 + z_2$ ist damit $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$.