Kehrwert komplexer Zahlen

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multiplikative Umkehrung

z^{-1}

1/z

Multipliziert man $z$ mit ihrem Kehrwert $z^{-1}$ , erhält man $das multiplikative neutrale Element$ $1$ .

z \times z^{-1} = 1

Die Kehrwertformel

Aus den Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen folgt für $z = x + iy$ :

Multipliziere Zähler und Nenner mit der $konjugierten Zahl des Nenners$ . Das Produkt konjugierter Zahlen ist das Quadrat des Betrags. Für eine komplexe Zahl ungleich null wird der Nenner dadurch reell und positiv:

\frac1z=\frac1{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2},\quad z\ne0

Als geordnetes Paar lässt sich derselbe Kehrwert so schreiben:

z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)

Besonders nützlich ist die Darstellung mit dem Konjugierten $\bar{z} = x-iy$ und dem Quadrat des Betrags $|z|^2 = x^2+y^2$ :

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Den Kehrwert einer komplexen Zahl bestimmen

Bestimme den Kehrwert von $z = 1 - i$ .

$Lösung$ :

Hier sind $x=1$ und $y=-1$ .

Mit der ersten Formel:

\begin{aligned} x^2+y^2 &= (1)^2 + (-1)^2 \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}

Mit dem $Konjugierten und dem Betrag$ ergibt sich derselbe Wert:

\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i

Beide Wege liefern:

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ oder} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)

Prüfe $z^{-1}$ durch Multiplikation mit der ursprünglichen Zahl:

\begin{aligned} &(1-i)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) \\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)i \\ &=1 \end{aligned}

z

und

z^{-1}

Die Zahl

z=1-i

und ihr Kehrwert

z^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i

liegen auf entgegengesetzten Seiten der reellen Achse. Die Beträge der beiden Zahlen sind reziprok.

Mit dem Kehrwert dividieren

Um $zwei komplexe Zahlen zu dividieren$ , multiplizierst du den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners. Der Nenner darf nicht null sein. Berechne im folgenden Beispiel Real- und Imaginärteil durch Ausmultiplizieren:

\begin{aligned}\frac{1-i}{2+3i}&=(1-i)\frac{2-3i}{2^2+3^2} \\ &=\frac{2-3i-2i+3i^2}{13} \\ &=\frac{-1-5i}{13}=-\frac1{13}-\frac5{13}i\end{aligned}

Übung

Gegeben sind $z_1 = 1-i$ und $z_2 = 2+3i$ . Bestimme den $Kehrwert der Summe$ $z_1 + z_2$ . Das Ergebnis muss $(z_1 + z_2) \cdot w = 1$ erfüllen, und damit kannst du deine Antwort selbst prüfen. Addiere die beiden komplexen Zahlen zuerst komponentenweise und bilde erst danach den Kehrwert der Summe.

Ausführliche Lösungen

$Schritt 1$ : Berechne zuerst $z_1 + z_2$ .

\begin{aligned} z &= z_1 + z_2 \\ &= (1-i) + (2+3i) \\ &= (1+2) + (-1+3)i \\ &= 3+2i \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den $Kehrwert der Summe$ $z = 3+2i$ . Dabei sind $x=3$ und $y=2$ . Mit $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ erhält man:

\bar{z} = 3-2i

Der Kehrwert von $z_1 + z_2$ ist damit $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$ .

Prüfe das Ergebnis durch Multiplikation der ursprünglichen Summe mit dem gefundenen Kehrwert:

(3+2i)\frac{3-2i}{13}=\frac{9-6i+6i-4i^2}{13}=\frac{13}{13}=1

Kehrwert komplexer Zahlen

Eine komplexe Zahl mit ihrem Kehrwert multiplizieren

Kehrwert komplexer Zahlen

Eine komplexe Zahl mit ihrem Kehrwert multiplizieren

Die Kehrwertformel

Den Kehrwert einer komplexen Zahl bestimmen

Mit dem Kehrwert dividieren

Übung

Ausführliche Lösungen