Kehrwert komplexer Zahlen

Eine komplexe Zahl mit ihrem Kehrwert multiplizieren

Jede $komplexe Zahl ungleich null$ $z = x + iy$ besitzt eine $multiplikative Umkehrung$ , auch Kehrwert genannt. Sie wird als $z^{-1}$ oder $1/z$ geschrieben.

Multipliziert man $z$ mit ihrem Kehrwert $z^{-1}$ , erhält man $das multiplikative neutrale Element$ $1$ .

z \times z^{-1} = 1

Die Kehrwertformel

Aus den Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen folgt für $z = x + iy$ :

Multipliziere Zähler und Nenner mit der $konjugierten Zahl des Nenners$ . Das Produkt konjugierter Zahlen ist das Quadrat des Betrags. Für eine komplexe Zahl ungleich null wird der Nenner dadurch reell und positiv:

\frac1z=\frac1{x+iy}\cdot\frac{x-iy}{x-iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2},\quad z\ne0

Als geordnetes Paar lässt sich derselbe Kehrwert so schreiben:

z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)

Besonders nützlich ist die Darstellung mit dem Konjugierten $\bar{z} = x-iy$ und dem Quadrat des Betrags $|z|^2 = x^2+y^2$ :

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Den Kehrwert einer komplexen Zahl bestimmen

Bestimme den Kehrwert von $z = 1 - i$ .

$Lösung$ :

Hier sind $x=1$ und $y=-1$ .

Mit der ersten Formel:

\begin{aligned} x^2+y^2 &= (1)^2 + (-1)^2 \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}

Mit dem $Konjugierten und dem Betrag$ ergibt sich derselbe Wert:

\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i

Beide Wege liefern:

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ oder} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)

Prüfe $z^{-1}$ durch Multiplikation mit der ursprünglichen Zahl:

\begin{aligned} &(1-i)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right) \\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)i \\ &=1 \end{aligned}

z

und

z^{-1}

Die Zahl

z=1-i

und ihr Kehrwert

z^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i

liegen auf entgegengesetzten Seiten der reellen Achse. Die Beträge der beiden Zahlen sind reziprok.

Mit dem Kehrwert dividieren

Um $zwei komplexe Zahlen zu dividieren$ , multiplizierst du den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners. Der Nenner darf nicht null sein. Berechne im folgenden Beispiel Real- und Imaginärteil durch Ausmultiplizieren:

\begin{aligned}\frac{1-i}{2+3i}&=(1-i)\frac{2-3i}{2^2+3^2} \\ &=\frac{2-3i-2i+3i^2}{13} \\ &=\frac{-1-5i}{13}=-\frac1{13}-\frac5{13}i\end{aligned}

Übung

Gegeben sind $z_1 = 1-i$ und $z_2 = 2+3i$ . Bestimme den $Kehrwert der Summe$ $z_1 + z_2$ . Das Ergebnis muss $(z_1 + z_2) \cdot w = 1$ erfüllen, und damit kannst du deine Antwort selbst prüfen. Addiere die beiden komplexen Zahlen zuerst komponentenweise und bilde erst danach den Kehrwert der Summe.

Ausführliche Lösungen

$Schritt 1$ : Berechne zuerst $z_1 + z_2$ .

\begin{aligned} z &= z_1 + z_2 \\ &= (1-i) + (2+3i) \\ &= (1+2) + (-1+3)i \\ &= 3+2i \end{aligned}

$Schritt 2$ : Bestimme den $Kehrwert der Summe$ $z = 3+2i$ . Dabei sind $x=3$ und $y=2$ . Mit $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ erhält man:

\bar{z} = 3-2i

Der Kehrwert von $z_1 + z_2$ ist damit $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$ .

Prüfe das Ergebnis durch Multiplikation der ursprünglichen Summe mit dem gefundenen Kehrwert:

(3+2i)\frac{3-2i}{13}=\frac{9-6i+6i-4i^2}{13}=\frac{13}{13}=1