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Ein Kreisbogen ist der Teil einer Kreislinie zwischen zwei Punkten. Anschaulich kann man ihn sich wie ein Stück Schnur vorstellen, das genau auf dem Kreisrand liegt. Markieren wir zwei Punkte auf einem Kreis, entstehen zwischen ihnen immer zwei Bögen.
Jeder Bogen hat zwei Endpunkte auf dem Kreis. Seine Länge hängt vom zugehörigen Mittelpunktswinkel ab: Je größer dieser Winkel ist, desto länger ist der Bogen.
Nach der Größe ihres Mittelpunktswinkels unterscheidet man drei Arten von Bögen:
Ein kleiner Bogen gehört zu einem Mittelpunktswinkel unter . Er ist der kürzere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
Ein großer Bogen gehört zu einem Mittelpunktswinkel über . Er ist der längere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
Ein Halbkreisbogen gehört genau zu und teilt den Kreisrand in zwei gleich lange Bögen.
Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen Anteil des Vollwinkels der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang , erhalten wir:
Dabei bezeichnet:
Ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben, vereinfacht sich die Formel zu:
Hier steht also nicht für eine Gradzahl, sondern für das Bogenmaß.
Auf demselben Kreis sind Bogenlänge und Mittelpunktswinkel proportional. Für zwei Bögen gilt deshalb:
Verdoppelt sich der Mittelpunktswinkel, verdoppelt sich dort auch die Bogenlänge. Wichtig ist die Voraussetzung, dass beide Bögen zum selben Kreis gehören.
Mit diesem Verhältnis lassen sich Bogenlängen vergleichen, ohne den Radius zuerst zu bestimmen.
Ein Kreis hat den Radius . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
Der Bogen ist lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Wie groß ist der Radius?
Auf einem Kreis mit dem Radius gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln und . Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
Ein Kreisbogen ist lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
Ein Kreis hat einen Umfang von . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
Ergebnis:
Gegeben: ,
Mit der Bogenlängenformel:
Ergebnis:
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Ergebnis:
Gegeben: , ,
Ergebnis:
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Mit der Bogenlängenformel:
Ergebnis:
Gegeben: Umfang = ,
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel:
Mit der Bogenlängenformel:
Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:
Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also .
