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Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von erfasst also genau einen -Bogen.
Gilt , dann misst auch der Bogen genau . Beide Zahlen sind Gradmaße. Die Bogenlänge hat eine Längeneinheit wie Zentimeter.
Der Mittelpunktswinkel wählt einen Anteil des Kreisumfangs aus. Vergleiche ihn mit einer halben Umdrehung, um die drei Bogenarten zu unterscheiden. Zwei Bögen mit denselben Endpunkten ergänzen sich zu einer vollen Umdrehung.
Ein kleiner Bogen wird von einem Mittelpunktswinkel unter aufgespannt und ist kürzer als der halbe Kreisumfang. Bei umfasst er ein Viertel des Umfangs, weil genau ein Viertel ist.
Ein Halbkreisbogen gehört genau zu . Seine Endpunkte liegen auf einem Durchmesser, und seine Länge entspricht der Hälfte des Kreisumfangs. Der zugehörige Sektor ist der Halbkreis selbst.
Ein großer Bogen wird von einem Reflexwinkel über aufgespannt und ist länger als der halbe Kreisumfang. Sein Gradmaß ergänzt das des zugehörigen kleinen Bogens zu einem Vollwinkel:
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Kreisumfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Daher gilt:
Die Variablen in dieser Formel bedeuten:
Das Bogenmaß ist als Bogenlänge geteilt durch Radius definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:
Dabei muss im Bogenmaß eingesetzt werden.
Betrachten wir einen Kreis mit und .
Der Winkel umfasst ein Drittel einer Umdrehung. Nimm deshalb ein Drittel des Kreisumfangs:
Der zum Mittelpunktswinkel gehörende Bogen ist somit lang, also ungefähr .
Der Minutenzeiger einer Uhr macht pro Stunde eine volle Umdrehung. In fünf Minuten überstreicht er . Ist er lang, legt seine Spitze folgende Bogenlänge zurück:
In jeder Aufgabe wird ein Mittelpunktswinkel mit dem zugehörigen Bogen verknüpft, deshalb wählst du zwischen Grad und Bogenmaß und behältst eine Einheit bis zum Ende bei.
Ein Kreis hat den Radius . Berechne die Länge des Bogens zu .
Ein Bogen ist lang, der Kreisradius beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.
In einem Kreis mit Mittelpunkt gilt und . Bestimme die Länge des Bogens als Vielfaches von .
Ein Fahrradrad mit Radius dreht sich an einer festen Achse um . Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?
Bestimme bei den Aufgaben eins, drei und vier den Anteil einer vollen Umdrehung. In Aufgabe zwei stellst du die Gleichung nach dem gesuchten Winkel um.
Lösung 1
Gegeben: und
Gesucht: Bogenlänge
Schritt 1: Bogenlängenformel aufstellen
Schritt 2: Bekannte Werte einsetzen
Schritt 3: Bruch vereinfachen
Schritt 4: Ergebnis berechnen
Die Bogenlänge beträgt , also ungefähr .
Lösung 2
Gegeben: und
Gesucht: Mittelpunktswinkel
Schritt 1: Bogenlängenformel aufstellen
Schritt 2: Bekannte Werte einsetzen
Schritt 3: Gleichung vereinfachen
Schritt 4: isolieren
Schritt 5: Ergebnis berechnen
Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt .
Lösung 3
Gegeben: und
Gesucht: Länge des Bogens
Schritt 1: Bogenlängenformel aufstellen
Schritt 2: Bekannte Werte einsetzen
Schritt 3: Bruch vereinfachen
Schritt 4: Ergebnis berechnen
Der Bogen ist damit lang.
Lösung 4
Gegeben: und
Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge
Schritt 1: Bogenlängenformel aufstellen
Schritt 2: Bekannte Werte einsetzen
Schritt 3: Bruch vereinfachen
Schritt 4: Ergebnis berechnen
Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn zurück, also ungefähr .
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