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Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien begrenzt und hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Ein Tortenstück ist ein gutes Bild dafür: Seine Spitze liegt in der Mitte, seine beiden geraden Seiten verlaufen entlang der Radien.
In einem Kreis mit Mittelpunkt liegen und auf der Kreislinie. Dann ist ein Mittelpunktswinkel, der den Bogen zwischen diesen beiden Punkten überspannt.
Der Mittelpunktswinkel und der zugehörige Bogen haben dasselbe Gradmaß. Ein Winkel von erfasst also genau einen -Bogen.
Gilt , dann misst auch der Bogen genau . Diese Gleichheit bezieht sich auf das Gradmaß, nicht auf die Bogenlänge.
Je nach Mittelpunktswinkel unterscheiden wir drei Fälle:
Ein kleiner Bogen wird von einem Mittelpunktswinkel unter aufgespannt und ist kürzer als der halbe Kreisumfang.
Ein Halbkreisbogen gehört genau zu . Seine Endpunkte liegen auf einem Durchmesser, und seine Länge entspricht der Hälfte des Kreisumfangs.
Ein großer Bogen wird von einem Reflexwinkel über aufgespannt und ist länger als der halbe Kreisumfang. Sein Gradmaß ergänzt das des zugehörigen kleinen Bogens zu einem Vollwinkel:
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Kreisumfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel. Daher gilt:
Dabei bezeichnet:
Ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben, vereinfacht sich die Formel zu:
Dabei muss im Bogenmaß eingesetzt werden.
Betrachten wir einen Kreis mit und .
Einsetzen in die Bogenlängenformel ergibt:
Der zum Mittelpunktswinkel gehörende Bogen ist somit lang, also ungefähr .
Gleiche Winkelabstände verteilen wiederholte Elemente gleichmäßig auf einem Zahnrad oder einer Kreisscheibe. Um den Winkel in eine Bogenlänge umzuwandeln, wird zusätzlich der Radius benötigt. Die Zeiger einer analogen Uhr überstreichen Mittelpunktswinkel. Kreisbogengeometrie kann außerdem die idealisierte Kontur eines Bogens oder einer Kuppel festlegen, während der Tragwerksentwurf weitere Angaben benötigt.
Wird die Erde näherungsweise als Kugel modelliert, hat eine Route auf einem Großkreis die Länge , wenn der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben ist. Das ist ein mathematisches Modell; genaue Navigation verwendet ein Erdmodell und Routendaten, die zur geforderten Genauigkeit passen.
Ein Kreis hat den Radius . Berechne die Länge des Bogens zu .
Ein Bogen ist lang, der Kreisradius beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel.
In einem Kreis mit Mittelpunkt gilt und . Bestimme die Länge des Bogens als Vielfaches von .
Ein Fahrradrad mit Radius dreht sich an einer festen Achse um . Welche Strecke legt ein Punkt am Rand auf seiner Kreisbahn zurück?
Lösung:
Gegeben: und
Gesucht: Bogenlänge
Schritt : Bogenlängenformel aufstellen
Schritt : Bekannte Werte einsetzen
Schritt : Bruch vereinfachen
Schritt : Ergebnis berechnen
Die Bogenlänge beträgt , also ungefähr .
Lösung:
Gegeben: und
Gesucht: Mittelpunktswinkel
Schritt : Bogenlängenformel aufstellen
Lösung:
Gegeben: und
Gesucht: Länge des Bogens
Lösung:
Gegeben: und
Gesucht: zurückgelegte Strecke, also die Bogenlänge
Schritt : Bogenlängenformel aufstellen
Schritt : Bekannte Werte einsetzen
Schritt : Gleichung vereinfachen
Schritt : isolieren
Schritt : Ergebnis berechnen
Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt .
Schritt : Bogenlängenformel aufstellen
Schritt : Bekannte Werte einsetzen
Schritt : Bruch vereinfachen
Schritt : Ergebnis berechnen
Der Bogen ist damit lang.
Schritt : Bekannte Werte einsetzen
Schritt : Bruch vereinfachen
Schritt : Ergebnis berechnen
Der Punkt legt auf seiner Kreisbahn zurück, also ungefähr .
