Kreisbögen

Zwei Kreisbögen zwischen zwei Punkten

Ein Kreisbogen ist $der Teil einer Kreislinie zwischen zwei Punkten$ . Anschaulich kann man ihn sich wie ein Stück Schnur vorstellen, das genau auf dem Kreisrand liegt. Markieren wir zwei verschiedene Punkte auf einem Kreis, entstehen zwischen ihnen immer zwei Bögen.

Jeder Bogen hat zwei Endpunkte auf dem Kreis. Auf einem festen Kreis hängt seine Länge vom zugehörigen Mittelpunktswinkel ab: Je größer dieser Winkel ist, desto länger ist der Bogen.

Visualisierung von Kreisbögen

Ein Kreisbogen und der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Bogenarten nach ihrer Größe

Vergleiche bei zwei verschiedenen Endpunkten den Bogenwinkel mit einer $halben Umdrehung$ . Beide Bögen zwischen den Endpunkten ergänzen sich zu einer vollen Umdrehung.

Mittelpunktswinkel	Anteil am Umfang
Kleiner Bogen: $0^\circ<\alpha<180^\circ$	$0<l/(2\pi r)<1/2$
Großer Bogen: $180^\circ<\alpha<360^\circ$	$1/2<l/(2\pi r)<1$
Halbkreis: $\alpha=180^\circ$	$l/(2\pi r)=1/2$

Formel für die Bogenlänge

Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen $Anteil des Vollwinkels$ der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang $2\pi r$ , erhalten wir:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$\alpha$ den Mittelpunktswinkel in Grad
$r$ den Radius des Kreises

Das Bogenmaß ist als $Bogenlänge geteilt durch Radius$ definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:

\text{Bogenlänge} = \alpha \times r

In der zweiten Formel bezeichnet $\alpha$ den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß.

Vergleich der Bogenlängen

Bögen mit unterschiedlichen Mittelpunktswinkeln auf demselben Kreis.

Zusammenhang zwischen Bogen und Mittelpunktswinkel

Auf $demselben Kreis$ sind Bogenlänge und Mittelpunktswinkel proportional. Für zwei Bögen gilt deshalb:

\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}

Verdoppelt sich der Mittelpunktswinkel, verdoppelt sich dort auch die Bogenlänge. Wichtig ist die Voraussetzung, dass beide Bögen zum selben Kreis gehören.

Mit diesem Verhältnis lassen sich Bogenlängen vergleichen, ohne den Radius zuerst zu bestimmen.

Übungsaufgaben

Gesucht sind je nach Aufgabe Bogenlänge, Radius, Längenverhältnis oder Winkel. Bestimme die $gesuchte Größe$ und die Winkeleinheit, bevor du eine Formel umstellst.

Ein Kreis hat den Radius $14 \text{ cm}$ . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $90^\circ$ ?
Der Bogen $AB$ ist $22 \text{ cm}$ lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel $AOB$ beträgt $120^\circ$ . Wie groß ist der Radius?
Auf einem Kreis mit dem Radius $21 \text{ cm}$ gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln $60^\circ$ und $150^\circ$ . Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
Ein Kreisbogen ist $15{,}7 \text{ cm}$ lang. Der Kreisradius beträgt $10 \text{ cm}$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
Ein Kreis hat einen Umfang von $88 \text{ cm}$ . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $45^\circ$ ?

Ausführliche Lösungen

Der erste Mittelpunktswinkel umfasst $ein Viertel einer Umdrehung$ . Nimm deshalb ein Viertel des Kreisumfangs.

$Lösung 1$ : $7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 14 \text{ cm}$ , $\alpha = 90^\circ$

Mit der Bogenlängenformel:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

$Lösung 2$ : $\frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}$

Gegeben sind die Bogenlänge $AB = 22 \text{ cm}$ und $\alpha = 120^\circ$ .

Mit der Bogenlängenformel:

22 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r

$Lösung 3$ : $2:5$

Gegeben: $r = 21 \text{ cm}$ , $\alpha_1 = 60^\circ$ , $\alpha_2 = 150^\circ$

Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:

\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{60^\circ}{150^\circ} = \frac{2}{5}

Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also $2:5$ .

$Lösung 4$ : $\alpha \approx 89{,}95^\circ$

Gegeben sind die Bogenlänge $15{,}7 \text{ cm}$ und $r = 10 \text{ cm}$ .

Mit der Bogenlängenformel:

15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi \times 10

$Lösung 5$ : $11 \text{ cm}$

Gegeben: Umfang = $88 \text{ cm}$ , $\alpha = 45^\circ$

Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel:

\begin{aligned} &\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Umfang} \end{aligned}

Zwei Kreisbögen zwischen zwei Punkten

Jeder Bogen hat zwei Endpunkte auf dem Kreis. Auf einem festen Kreis hängt seine Länge vom zugehörigen Mittelpunktswinkel ab: Je größer dieser Winkel ist, desto länger ist der Bogen.

Visualisierung von Kreisbögen

Ein Kreisbogen und der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Bogenarten nach ihrer Größe

Vergleiche bei zwei verschiedenen Endpunkten den Bogenwinkel mit einer $halben Umdrehung$ . Beide Bögen zwischen den Endpunkten ergänzen sich zu einer vollen Umdrehung.

Mittelpunktswinkel	Anteil am Umfang
Kleiner Bogen: $0^\circ<\alpha<180^\circ$	$0<l/(2\pi r)<1/2$
Großer Bogen: $180^\circ<\alpha<360^\circ$	$1/2<l/(2\pi r)<1$
Halbkreis: $\alpha=180^\circ$	$l/(2\pi r)=1/2$

Formel für die Bogenlänge

Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen $Anteil des Vollwinkels$ der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang $2\pi r$ , erhalten wir:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Die Variablen in dieser Formel bedeuten:

$\alpha$ den Mittelpunktswinkel in Grad
$r$ den Radius des Kreises

Das Bogenmaß ist als $Bogenlänge geteilt durch Radius$ definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:

\text{Bogenlänge} = \alpha \times r

In der zweiten Formel bezeichnet $\alpha$ den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß.

Vergleich der Bogenlängen

Bögen mit unterschiedlichen Mittelpunktswinkeln auf demselben Kreis.

Zusammenhang zwischen Bogen und Mittelpunktswinkel

Auf $demselben Kreis$ sind Bogenlänge und Mittelpunktswinkel proportional. Für zwei Bögen gilt deshalb:

\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}

Verdoppelt sich der Mittelpunktswinkel, verdoppelt sich dort auch die Bogenlänge. Wichtig ist die Voraussetzung, dass beide Bögen zum selben Kreis gehören.

Mit diesem Verhältnis lassen sich Bogenlängen vergleichen, ohne den Radius zuerst zu bestimmen.

Übungsaufgaben

Gesucht sind je nach Aufgabe Bogenlänge, Radius, Längenverhältnis oder Winkel. Bestimme die $gesuchte Größe$ und die Winkeleinheit, bevor du eine Formel umstellst.

Ein Kreis hat den Radius $14 \text{ cm}$ . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $90^\circ$ ?
Der Bogen $AB$ ist $22 \text{ cm}$ lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel $AOB$ beträgt $120^\circ$ . Wie groß ist der Radius?
Auf einem Kreis mit dem Radius $21 \text{ cm}$ gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln $60^\circ$ und $150^\circ$ . Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
Ein Kreisbogen ist $15{,}7 \text{ cm}$ lang. Der Kreisradius beträgt $10 \text{ cm}$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
Ein Kreis hat einen Umfang von $88 \text{ cm}$ . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $45^\circ$ ?

Ausführliche Lösungen

Der erste Mittelpunktswinkel umfasst $ein Viertel einer Umdrehung$ . Nimm deshalb ein Viertel des Kreisumfangs.

$Lösung 1$ : $7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 14 \text{ cm}$ , $\alpha = 90^\circ$

Mit der Bogenlängenformel:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

$Lösung 2$ : $\frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}$

Gegeben sind die Bogenlänge $AB = 22 \text{ cm}$ und $\alpha = 120^\circ$ .

Mit der Bogenlängenformel:

22 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r

$Lösung 3$ : $2:5$

Gegeben: $r = 21 \text{ cm}$ , $\alpha_1 = 60^\circ$ , $\alpha_2 = 150^\circ$

Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:

\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{60^\circ}{150^\circ} = \frac{2}{5}

Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also $2:5$ .

$Lösung 4$ : $\alpha \approx 89{,}95^\circ$

Gegeben sind die Bogenlänge $15{,}7 \text{ cm}$ und $r = 10 \text{ cm}$ .

Mit der Bogenlängenformel:

15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi \times 10

$Lösung 5$ : $11 \text{ cm}$

Gegeben: Umfang = $88 \text{ cm}$ , $\alpha = 45^\circ$

Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel:

\begin{aligned} &\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Umfang} \end{aligned}