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Vergleiche bei zwei verschiedenen Endpunkten den Bogenwinkel mit einer halben Umdrehung. Beide Bögen zwischen den Endpunkten ergänzen sich zu einer vollen Umdrehung.
| Mittelpunktswinkel | Anteil am Umfang |
|---|---|
| Kleiner Bogen: | |
| Großer Bogen: | |
| Halbkreis: |
Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen Anteil des Vollwinkels der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang , erhalten wir:
Die Variablen in dieser Formel bedeuten:
Das Bogenmaß ist als Bogenlänge geteilt durch Radius definiert. Für einen Winkel im Bogenmaß folgt daher direkt:
In der zweiten Formel bezeichnet den Mittelpunktswinkel im Bogenmaß.
Auf demselben Kreis sind Bogenlänge und Mittelpunktswinkel proportional. Für zwei Bögen gilt deshalb:
Verdoppelt sich der Mittelpunktswinkel, verdoppelt sich dort auch die Bogenlänge. Wichtig ist die Voraussetzung, dass beide Bögen zum selben Kreis gehören.
Mit diesem Verhältnis lassen sich Bogenlängen vergleichen, ohne den Radius zuerst zu bestimmen.
Gesucht sind je nach Aufgabe Bogenlänge, Radius, Längenverhältnis oder Winkel. Bestimme die gesuchte Größe und die Winkeleinheit, bevor du eine Formel umstellst.
Ein Kreis hat den Radius . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
Der Bogen ist lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Wie groß ist der Radius?
Auf einem Kreis mit dem Radius gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln und . Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
Ein Kreisbogen ist lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
Ein Kreis hat einen Umfang von . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
Der erste Mittelpunktswinkel umfasst ein Viertel einer Umdrehung. Nimm deshalb ein Viertel des Kreisumfangs.
Lösung 1:
Gegeben: ,
Mit der Bogenlängenformel:
Lösung 2:
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Mit der Bogenlängenformel:
Lösung 3:
Gegeben: , ,
Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:
Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also .
Lösung 4:
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Mit der Bogenlängenformel:
Lösung 5:
Gegeben: Umfang = ,
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel:
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