Die Geschichte von Pi

Definition von Pi

Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt $\pi$ (Pi), und ihr Wert beginnt mit $3{,}14159$.

Mathematisch kann $\pi$ wie folgt definiert werden:

Die Größe des Kreises spielt dabei keine Rolle: Verdoppeln sich alle Längen, verdoppeln sich Umfang und Durchmesser gemeinsam, ihr Verhältnis bleibt jedoch unverändert.

Frühe Näherungen

Erhaltene antike Quellen enthalten mehrere Näherungswerte. Eine mesopotamische Näherung lautet $\pi \approx \frac{25}{8}=3{,}125$.

Der ägyptische Rhind-Papyrus, der auf etwa $1650 \text{ v. Chr.}$ datiert wird, enthält eine Regel, die $\pi \approx \frac{256}{81}$ entspricht. Das ergibt ungefähr $3{,}16049$. Keine der beiden Näherungen ist der exakte Wert von $\pi$. Von diesen beiden liegt der mesopotamische Wert $3{,}125$ sogar näher.

In der ägyptischen Flächenregel erhält ein Kreis mit Durchmesser $9$ die angenäherte Fläche $8^2=64$. Der Vergleich mit $\pi r^2$ erklärt den Bruch:

Archimedes und die Polygonmethode

Archimedes von Syrakus, ein griechischer Mathematiker, der etwa $287\text{-}212 \text{ v. Chr.}$ lebte, entwickelte eine systematische Methode, um $\pi$ genauer einzugrenzen. Er verglich regelmäßige Vielecke innerhalb und außerhalb eines Kreises.

Der Umfang des einbeschriebenen Vielecks liegt unter dem Kreisumfang, der des umbeschriebenen Vielecks darüber. Mit immer mehr Seiten rücken beide Grenzen enger zusammen.

Bei den gezeichneten Sechsecken beträgt der Radius $3$ und der Durchmesser $6$. Jede Seite des inneren Sechsecks ist so lang wie der Radius. Die äußere Sechseckseite folgt aus einem rechtwinkligen Dreieck mit Winkel $30^\circ$:

Teilst du beide Vieleckumfänge durch denselben Durchmesser, erhältst du untere und obere Schranken:

Mit $96$-seitigen Vielecken bewies Archimedes, dass $\pi$ zwischen $\frac{223}{71}$ und $\frac{22}{7}$ liegt. Dabei bildet $\frac{22}{7}$ die obere Schranke. Der Wert liegt etwas über $\pi$:

Beiträge chinesischer Mathematiker

Im $5$. Jahrhundert n. Chr. bestimmte der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi die überlieferte Schranke $3{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927$ mit einer Intervallbreite von nur $10^{-7}$.

Zu Chongzhi gab außerdem die Bruchnäherung $\pi \approx \frac{355}{113}$ an. Ihre Dezimaldarstellung beginnt mit $3{,}1415929$ und stimmt in den ersten sechs Nachkommastellen mit $\pi$ überein. Seine Schranke mit sieben Nachkommastellen wurde erst durch al-Kashis Arbeit im $15$. Jahrhundert übertroffen, fast ein Jahrtausend später.

Das moderne Symbol

Der walisische Mathematiker William Jones verwendete $\pi$ in seinem Werk „Synopsis Palmariorum Matheseos“ von $1706$ in der heute üblichen Bedeutung. Die Schreibweise setzte sich nicht sofort allgemein durch.

Leonhard Euler übernahm das Symbol später in seinen einflussreichen Arbeiten. Dadurch wurde $\pi$ zur bis heute üblichen mathematischen Notation.

Besondere Eigenschaften von Pi

$\pi$ ist irrational und lässt sich daher nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Johann Heinrich Lambert lieferte im $18$. Jahrhundert den ersten strengen Beweis dafür. Ferdinand von Lindemann bewies $1882$, dass $\pi$ außerdem transzendent ist. Die Zahl ist also keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

Für einen Kreis mit Durchmesser $10\text{ cm}$ liefert $3{,}14$ den Umfang $31{,}4\text{ cm}$. Mit einem genaueren Pi-Wert erhältst du etwa $31{,}41593\text{ cm}$. Die Differenz beträgt etwa $0{,}01593\text{ cm}$. Die Näherung muss daher zur verlangten Genauigkeit passen.

Die Umfangsformel und die Flächenformel verwenden dieselbe Konstante:

Dabei ist $C$ der Umfang, $d$ der Durchmesser, $A$ die Fläche und $r$ der Radius des Kreises.